Máy tính Số Hạnh phúc

Chào mừng bạn đến với Máy tính số hạnh phúc, một công cụ tương tác để khám phá một trong những khái niệm thú vị nhất trong toán học giải trí. Nhập bất kỳ số nguyên dương nào và khám phá xem nó có phải là số hạnh phúc hay không bằng cách theo dõi hành trình bình phương các chữ số của nó từng bước một. Trực quan hóa hoạt ảnh, biểu đồ quỹ đạo và bảng phân tích chi tiết giúp bạn dễ dàng hiểu cách các con số đạt đến hạnh phúc — hoặc rơi vào một chu kỳ vô tận.

Số hạnh phúc là gì?

Một số hạnh phúc là một số nguyên dương cuối cùng đạt tới 1 khi bạn lặp lại việc thay thế nó bằng tổng bình phương các chữ số của nó. Nếu một số không bao giờ đạt tới 1 mà thay vào đó đi vào một chu kỳ vô hạn, nó được gọi là số không hạnh phúc (hoặc số buồn).

Quá trình

Trong đó \(d_i\) là các chữ số riêng lẻ của \(n\). Ví dụ:

• 19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ Hạnh phúc!
• 2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → đi vào chu kỳ ✘ Không hạnh phúc

Chu kỳ không hạnh phúc

Mọi số không hạnh phúc cuối cùng đều đi vào cùng một chu kỳ 8 số:

Sự thật đáng chú ý này có nghĩa là bạn chỉ cần kiểm tra xem chuỗi có bao giờ đạt đến 4 hay không để xác định rằng một số là không hạnh phúc. Không có chu kỳ nào khác cho quá trình bình phương chữ số trong hệ thập phân (cơ số 10).

Cách sử dụng máy tính này

1. Nhập một số: Nhập bất kỳ số nguyên dương nào vào trường nhập liệu. Hãy thử các ví dụ nhanh cho các số hạnh phúc và không hạnh phúc kinh điển.
2. Chọn một chế độ: Sử dụng "Kiểm tra số đơn lẻ" để phân tích sâu một số, hoặc "Tìm tất cả số hạnh phúc trong phạm vi" để khám phá mọi số hạnh phúc từ 1 đến N.
3. Phân tích kết quả: Nhấp vào "Kiểm tra số" để xem chuỗi bình phương chữ số hoàn chỉnh, biểu đồ quỹ đạo tương tác và bảng phân tích từng bước.
4. Khám phá các quy luật: Thử các con số khác nhau để khám phá mối liên hệ giữa các số hạnh phúc và các mẫu chữ số của chúng.

Số hạnh phúc dưới 100

Có đúng 20 số hạnh phúc trong khoảng từ 1 đến 100:

Các đặc tính thú vị của số hạnh phúc

Tính bất biến khi hoán vị chữ số

Nếu một số là hạnh phúc, thì bất kỳ sự sắp xếp lại các chữ số của nó cũng là số hạnh phúc. Ví dụ, vì 19 là số hạnh phúc, nên 91 cũng là số hạnh phúc. Tương tự, 13, 31 đều là số hạnh phúc.

Tính bất biến khi chèn số không

Việc chèn hoặc xóa các số không không làm thay đổi việc một số có phải là số hạnh phúc hay không. Vì 19 là số hạnh phúc, nên 109, 190, 1009, 1090 cũng đều là số hạnh phúc.

Số nguyên tố hạnh phúc

Một số nguyên tố hạnh phúc là một số vừa là số hạnh phúc vừa là số nguyên tố. Một vài số nguyên tố hạnh phúc đầu tiên là: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. Số nguyên tố hạnh phúc đã thu hút sự quan tâm trong lý thuyết số và thậm chí đã được nhắc đến trong văn hóa đại chúng.

Mật độ của số hạnh phúc

Mật độ của các số hạnh phúc trong tất cả các số nguyên dương là khoảng 14,3%. Điều này có nghĩa là cứ khoảng 7 số nguyên dương thì có 1 số hạnh phúc. Thú vị là mật độ này vẫn khá nhất quán trên các phạm vi khác nhau.

Số hạnh phúc trong các cơ số khác nhau

Khái niệm số hạnh phúc có thể được mở rộng sang các cơ số số khác. Trong cơ số \(b\), một số là hạnh phúc nếu tổng lặp lại các bình phương của các chữ số cơ số \(b\) của nó đạt tới 1. Các đặc tính và cấu trúc chu kỳ thay đổi đáng kể giữa các cơ số:

• Cơ số 2: Chỉ các lũy thừa của 2 là hạnh phúc (1, 2, 4, 8, 16, ...)
• Cơ số 4: 1 là số hạnh phúc duy nhất
• Cơ số 10: Tập hợp quen thuộc với mật độ xấp xỉ 14,3%

Khía cạnh tính toán

Đối với bất kỳ số nào có \(d\) chữ số, tổng bình phương các chữ số của nó tối đa là \(81d\) (khi tất cả các chữ số là 9). Điều này có nghĩa là:

• Một số có 1 chữ số ánh xạ tới tối đa 81
• Một số có 3 chữ số (lên đến 999) ánh xạ tới tối đa 243
• Bất kỳ số nào trên 999 ngay lập tức ánh xạ tới một số nhỏ hơn

Điều này đảm bảo rằng chuỗi luôn luôn đi vào một chu kỳ hoặc đạt tới 1, làm cho thuật toán luôn kết thúc.

Câu hỏi thường gặp

Số hạnh phúc là gì?

Số hạnh phúc là một số nguyên dương cuối cùng đạt tới 1 khi bạn thay thế nó lặp đi lặp lại bằng tổng bình phương các chữ số của nó. Ví dụ, 19 là số hạnh phúc vì: 1² + 9² = 82, sau đó 8² + 2² = 68, sau đó 6² + 8² = 100, sau đó 1² + 0² + 0² = 1. Những số không bao giờ đạt tới 1 được gọi là số không hạnh phúc hoặc số buồn.

Điều gì xảy ra với những số không hạnh phúc?

Các số không hạnh phúc (hoặc số buồn) không bao giờ đạt tới 1. Thay vào đó, cuối cùng chúng đi vào một chu kỳ vô hạn: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Mọi số không hạnh phúc cuối cùng sẽ đi vào đúng chu kỳ 8 số này.

Tất cả các số hạnh phúc dưới 100 là gì?

Các số hạnh phúc dưới 100 là: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97. Có 20 số hạnh phúc trong số 100, tương đương chính xác 20%.

Có quy luật nào cho các số hạnh phúc không?

Các số hạnh phúc chia sẻ những đặc tính thú vị: bất kỳ hoán vị nào của các chữ số của một số hạnh phúc cũng là số hạnh phúc (ví dụ: 19 và 91 đều là số hạnh phúc). Ngoài ra, việc thêm hoặc bớt các số không không làm thay đổi tính hạnh phúc (ví dụ: 19, 109, 190 đều là số hạnh phúc). Mật độ của các số hạnh phúc là khoảng 14,3% trong số tất cả các số nguyên dương.

Ai đã khám phá ra số hạnh phúc?

Số hạnh phúc lần đầu tiên được nghiên cứu bởi Reg Allenby vào năm 1966. Khái niệm này trở nên phổ biến thông qua toán học giải trí. Thuật ngữ "số hạnh phúc" được cho là do một học sinh nhỏ tuổi đã đưa ý tưởng này đến các nhà toán học tại Cambridge.

Số hạnh phúc được sử dụng như thế nào trong toán học?

Số hạnh phúc xuất hiện trong lý thuyết số, toán học giải trí và được sử dụng làm bài tập lập trình. Chúng kết nối với các khái niệm như điểm cố định, chu kỳ trong các hàm lặp và chuỗi dựa trên chữ số. Các số nguyên tố hạnh phúc (số vừa là số hạnh phúc vừa là số nguyên tố) được đặc biệt quan tâm trong nghiên cứu toán học.

Tài nguyên bổ sung

• Số hạnh phúc - Wikipedia
• OEIS A007770 - Số hạnh phúc