Kreuzprodukt-Rechner

Berechnen Sie das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) zweier 3D-Vektoren mit der Determinantenformel. Erhalten Sie eine schrittweise Erweiterung, den senkrechten Ergebnisvektor, dessen Betrag (Parallelogrammfläche), Richtungsprüfung und eine interaktive 3D-Visualisierung.

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Kreuzprodukt-Rechner

Der Kreuzprodukt-Rechner berechnet das Vektorprodukt zweier 3D-Vektoren mithilfe der Determinantenformel. Geben Sie die Komponenten zweier Vektoren ein, um sofort den resultierenden senkrechten Vektor, seinen Betrag (Parallelogrammfläche), den Winkel zwischen den Eingabevektoren, die schrittweise Determinantenentwicklung, die Überprüfung der Orthogonalität und ein interaktives 3D-Diagramm zu erhalten, das Sie durch Ziehen drehen können.

Die Kreuzprodukt-Formel

Das Kreuzprodukt zweier 3D-Vektoren $\vec{a} = \langle a_1, a_2, a_3 \rangle$ und $\vec{b} = \langle b_1, b_2, b_3 \rangle$ ist als die Determinante definiert:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}$$

Die Entwicklung nach dem Laplace'schen Entwicklungssatz entlang der ersten Zeile ergibt:

$$\vec{a} \times \vec{b} = \hat{i}(a_2 b_3 - a_3 b_2) - \hat{j}(a_1 b_3 - a_3 b_1) + \hat{k}(a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

Praktische Anwendungen

🔧

Drehmoment

τ = r × F berechnet die Rotationskraft

🌊

Drehimpuls

L = r × p in der Rotationsmechanik

🎮

Oberflächennormale

3D-Rendering nutzt Normalen für Beleuchtung

✈

Elektromagnetismus

F = qv × B für die Lorentzkraft

📐

Flächenberechnung

|a×b| ergibt Parallelogramm-/Dreiecksfläche

🏗

Baustatitk

Moment von Kräften um einen Punkt

Wichtige Formeln

Eigenschaft	Formel	Beschreibung
Kreuzprodukt	$\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle$	Komponentendarstellung des Kreuzprodukts
Betrag	$\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta$	Entspricht der Parallelogrammfläche
Antikommutativität	$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$	Vertauschen der Reihenfolge kehrt die Richtung um
Orthogonalität	$(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$	Das Ergebnis steht immer senkrecht auf beiden Eingaben
Parallelitätstest	$\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}$	Ein Null-Kreuzprodukt bedeutet, dass die Vektoren parallel sind
Dreiecksfläche	$A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|$	Die Hälfte der Parallelogrammfläche

Kreuzprodukt vs. Skalarprodukt

Kreuzprodukt (a × b)

Erzeugt einen Vektor, der senkrecht auf beiden Eingaben steht. Nur in 3D definiert. Der Betrag entspricht der Parallelogrammfläche. Null, wenn Vektoren parallel sind. Maximal, wenn Vektoren senkrecht stehen. Antikommutativ: a × b = -(b × a).

Skalarprodukt (a · b)

Erzeugt einen Skalar (Zahlenwert). Funktioniert in jeder Dimension. Misst die Ausrichtung zwischen Vektoren. Null, wenn Vektoren senkrecht stehen. Maximal, wenn Vektoren parallel sind. Kommutativ: a · b = b · a.

Wichtige Eigenschaften

Antikommutativ

$\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})$ — Reihenfolge zählt

Distributiv

$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$

Skalarfaktor

$(k\vec{a}) \times \vec{b} = k(\vec{a} \times \vec{b})$

Selbstkreuzprodukt

$\vec{a} \times \vec{a} = \vec{0}$ — immer Null

Nicht assoziativ

$\vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c}) \neq (\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}$

Lagrange-Identität

$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$

Die Rechte-Hand-Regel verstehen

Die Richtung des Kreuzprodukts folgt der Rechte-Hand-Regel: Zeigen Sie mit den Fingern Ihrer rechten Hand entlang des ersten Vektors $\vec{a}$, beugen Sie sie zum zweiten Vektor $\vec{b}$, und Ihr Daumen zeigt in die Richtung von $\vec{a} \times \vec{b}$. Dies ist der Grund, warum das Kreuzprodukt antikommutativ ist — das Umkehren der Reihenfolge kehrt die Daumenrichtung um, was $\vec{b} \times \vec{a} = -(\vec{a} \times \vec{b})$ ergibt.

Der Betrag $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta$ repräsentiert die Fläche des von den beiden Vektoren aufgespannten Parallelogramms. Wenn die Vektoren parallel sind ($\theta = 0°$ oder $180°$), fällt die Fläche auf Null zusammen. Wenn sie senkrecht stehen ($\theta = 90°$), ist die Fläche mit $|\vec{a}| \times |\vec{b}|$ am größten.

So verwenden Sie den Kreuzprodukt-Rechner

Vektor a eingeben: Geben Sie die drei Komponenten (x, y, z) durch Kommas getrennt ein — zum Beispiel 2, 3, 4. Sie können auch auf ein Kurzbeispiel klicken, um beide Vektoren automatisch auszufüllen.
Vektor b eingeben: Geben Sie die drei Komponenten des zweiten Vektors im gleichen Format ein.
Live-Vorschau beobachten: Die 3D-Vorschau wird in Echtzeit aktualisiert und zeigt beide Vektoren, den Kreuzprodukt-Vektor und das Parallelogramm.
Auf Berechnen klicken: Drücken Sie die Schaltfläche, um die vollständigen Ergebnisse zu erhalten, einschließlich des senkrechten Ergebnisvektors, der Parallelogrammfläche, des Winkels, der schrittweisen Determinantenentwicklung und des interaktiven 3D-Diagramms.
Diagramm erkunden: Ziehen Sie, um die 3D-Ansicht zu drehen, schalten Sie Ebenen (Parallelogramm, Kreuzprodukt-Vektor, Achsen, Beschriftungen) für verschiedene Visualisierungen um.

FAQ

Was ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren?

Das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt) zweier 3D-Vektoren a und b erzeugt einen neuen Vektor, der senkrecht auf a und b steht. Es wird mit der Determinante einer 3×3-Matrix mit den Einheitsvektoren i, j, k in der ersten Zeile berechnet. Der Betrag des Ergebnisses entspricht der Fläche des von den beiden Vektoren gebildeten Parallelogramms.

Wie berechnet man das Kreuzprodukt mit der Determinantenmethode?

Stellen Sie eine 3×3-Matrix mit i-hat, j-hat, k-hat in Zeile 1, den Komponenten von Vektor a in Zeile 2 und den Komponenten von Vektor b in Zeile 3 auf. Entwickeln Sie dann entlang der ersten Zeile: i(a₂b₃ − a₃b₂) − j(a₁b₃ − a₃b₁) + k(a₁b₂ − a₂b₁). Dies ergibt die drei Komponenten des Kreuzprodukt-Vektors.

Warum ist das Kreuzprodukt nur im 3D-Raum definiert?

Das Kreuzprodukt als Vektoroperation ist nur in 3 Dimensionen (und 7 Dimensionen) definiert, da nur in diesen Räumen ein eindeutiger Vektor gefunden werden kann, der senkrecht auf zwei gegebenen Vektoren steht. Im 2D-Raum gibt es keine Richtung außerhalb der Ebene, und in höheren Dimensionen hat der senkrechte Raum mehr als eine Dimension.

Was ist die geometrische Bedeutung des Betrags des Kreuzprodukts?

Der Betrag |a × b| entspricht der Fläche des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. Die Hälfte dieses Wertes ergibt die Dreiecksfläche. Dies wird häufig in der Physik (Drehmoment = r × F) und in der Computergrafik (Berechnung von Oberflächennormalen für die Beleuchtung) verwendet.

Was ist die Rechte-Hand-Regel für Kreuzprodukte?

Die Rechte-Hand-Regel bestimmt die Richtung des Kreuzprodukts: Zeigen Sie mit Ihren Fingern in Richtung von Vektor a, beugen Sie sie in Richtung von Vektor b, und Ihr Daumen zeigt in die Richtung von a × b. Dies bedeutet, dass das Kreuzprodukt antikommutativ ist — a × b ist gleich −(b × a).

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"Kreuzprodukt-Rechner" unter https://MiniWebtool.com/de// von MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

vom MiniWebtool-Team. Aktualisiert am: 2026-04-10

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Eigenschaft	Formel	Beschreibung
Kreuzprodukt	\(\vec{a} \times \vec{b} = \langle a_2 b_3 - a_3 b_2,\; a_3 b_1 - a_1 b_3,\; a_1 b_2 - a_2 b_1 \rangle\)	Komponentendarstellung des Kreuzprodukts
Betrag	\(\|\vec{a} \times \vec{b}\| = \|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\sin\theta\)	Entspricht der Parallelogrammfläche
Antikommutativität	\(\vec{a} \times \vec{b} = -(\vec{b} \times \vec{a})\)	Vertauschen der Reihenfolge kehrt die Richtung um
Orthogonalität	\((\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{a} = 0\)	Das Ergebnis steht immer senkrecht auf beiden Eingaben
Parallelitätstest	\(\vec{a} \times \vec{b} = \vec{0} \iff \vec{a} \\| \vec{b}\)	Ein Null-Kreuzprodukt bedeutet, dass die Vektoren parallel sind
Dreiecksfläche	\(A = \frac{1}{2}\|\vec{a} \times \vec{b}\|\)	Die Hälfte der Parallelogrammfläche

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Die Kreuzprodukt-Formel

Praktische Anwendungen

Wichtige Formeln

Kreuzprodukt vs. Skalarprodukt

Kreuzprodukt (a × b)

Skalarprodukt (a · b)

Wichtige Eigenschaften

Die Rechte-Hand-Regel verstehen

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