超幾何分布計算機

超幾何分布計算機

超幾何分布計算機用於計算不放回抽樣情境下的精確機率。輸入您的母體大小 (N)、成功項目數 (K)、抽取次數 (n) 以及目標成功次數 (k)，即可立即獲得點機率與累積機率，並附有逐步組合解法和互動式視覺化圖表。

什麼是超幾何分布？

超幾何分布是一種離散機率分佈，描述了從大小為 N 且正好包含 K 個成功項目的有限母體中，在不放回的情況下進行 n 次抽取時，成功的次數。與假設每次試驗相互獨立的二項分布不同，超幾何分布考慮了每次抽取都會改變剩餘母體組成的事實。

超幾何 PMF 公式

機率質量函數 (PMF) 為：

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

其中 C(a, b) = a! / (b! × (a − b)!) 是二項式係數（「從 a 中取 b」）。分子計算從 K 個成功中選擇 k 個，以及從 (N − K) 個失敗中選擇 (n − k) 個的有利方式。分母計算從 N 中抽取 n 個項目的所有可能方式。

參數說明

• N (母體大小) — 母體中的項目總數。
• K (成功狀態數) — 母體中被歸類為「成功」的項目數量。
• n (抽取次數) — 在不放回的情況下抽取了多少個項目。
• k (觀察到的成功數) — 您想要查找其機率的特定成功次數。

期望值、變異數與標準差

對於超幾何隨機變數 X：

• 期望值： μ = nK / N
• 變異數： σ² = n × (K/N) × ((N−K)/N) × ((N−n)/(N−1))
• 標準差： σ = √σ²

因子 (N − n) / (N − 1) 被稱為有限母體校正因子。與二項分布相比，它降低了變異數，反映出不放回抽樣的變異性小於放回抽樣。

超幾何分布 vs. 二項分布

• 超幾何分布：從有限母體中進行不放回抽樣。每次抽取都會改變下一次抽取的機率。
• 二項分布：進行放回抽樣（或從無限母體中抽樣）。每次試驗具有相同的機率。
• 當母體相對於樣本非常大時 (N ≫ n)，超幾何分布會趨近於二項分布。

常見應用

• 品質管理 — 在從包含 20 個瑕疵品的 500 個批次中檢驗 30 個單位時，恰好發現 3 個瑕疵品的機率是多少？
• 卡牌遊戲 — 在標準 52 張撲克牌中，發到的 5 張牌中恰好有 2 張紅心的機率是多少？
• 彩票分析 — 匹配一定數量中獎號碼的機率是多少？
• 生態學 (標記重捕法) — 通過標記和重新捕捉動物來估計野生動物種群。
• 統計檢定 — Fisher 精確檢定使用超幾何分布來檢定 2×2 列聯表中的獨立性。

如何使用此計算機

1. 輸入母體大小 N（項目總數）。
2. 輸入成功狀態數 K（必須 ≤ N）。
3. 輸入抽取次數 n（必須 ≤ N）。
4. 輸入觀察到的成功數 k（必須在給定參數的範圍內）。
5. 點擊「計算機機率」以查看精確和累積機率、逐步解法、PMF 條形圖和罈子模型視覺化。

常見問題解答

超幾何分布用於什麼？

每當您從有限母體中進行不放回抽樣，並想知道抽取具有特定特徵的特定數量項目的機率時，就會使用超幾何分布。常見的使用案例包括品質管理檢驗、卡牌遊戲機率、彩票賠率和生態標記重捕研究。

超幾何分布與二項分布有何不同？

關鍵區別在於是否放回。二項分布假設試驗是獨立的（放回），而超幾何分布模擬的是相依抽取（不放回）。當母體遠大於樣本時，這兩種分佈會趨於一致。

k 的有效範圍是多少？

觀察到的成功次數 k 必須滿足：max(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ min(n, K)。下限確保剩餘的抽取中有足夠的失敗項目，上限確保您不會超過可用的成功數或總抽取數。

我可以使用它進行 Fisher 精確檢定嗎？

可以。Fisher 精確檢定使用超幾何分布來計算機率。如果您有一個 2×2 列聯表，您可以使用此計算機在獨立性的虛無假設下計算觀察到給定細格計數的機率。

什麼是有限母體校正因子？

變異數公式中的因子 (N − n) / (N − 1) 用於解釋不放回抽樣。與二項分布相比，它總是會降低變異數。當 n 相對於 N 較小時，此因子接近 1，校正效果可以忽略不計。