Kalkulator Pecahan Lanjutan

Selamat datang di Kalkulator Pecahan Lanjutan — alat canggih yang mengonversi angka desimal, pecahan, atau akar kuadrat apa pun ke dalam representasi pecahan lanjutannya. Lihat notasi terkenal [a₀; a₁, a₂, ...], jelajahi pendekatan rasional (konvergen), dan visualisasikan struktur pecahan bersarang secara interaktif.

Apa itu Pecahan Lanjutan?

Pecahan lanjutan adalah cara menyatakan angka sebagai urutan bersarang dari bagian bilangan bulat dan pecahan:

Di mana a₀, a₁, a₂, ... adalah bilangan bulat non-negatif yang disebut hasil bagi parsial. Notasi standarnya adalah [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]. Beberapa contoh yang luar biasa:

• π (pi) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — angka 292 berarti pi didekati dengan sangat baik oleh 355/113
• φ (rasio emas) = [1; 1, 1, 1, ...] — pecahan lanjutan dengan konvergensi paling lambat
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — periodik, seperti yang diprediksi oleh teorema Lagrange
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — pola yang indah

Cara Kerja Algoritma

Untuk Desimal x Apa Pun

1. Hitung a₀ = ⌊x⌋ (floor dari x)
2. Atur x₁ = 1/(x − a₀), lalu hitung a₁ = ⌊x₁⌋
3. Ulangi: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. Berhenti ketika bagian pecahan nol (rasional) atau Anda memiliki cukup istilah

Untuk Pecahan p/q (Algoritma Euclidean)

Untuk pecahan, algoritmanya identik dengan algoritma Euclidean untuk FPB (GCD):

Setiap langkah pembagian dari algoritma Euclidean menghasilkan satu hasil bagi parsial dari pecahan lanjutan.

Konvergen: Pendekatan Rasional Terbaik

Konvergen pₙ/qₙ diperoleh dengan memotong pecahan lanjutan pada setiap langkah. Mereka memenuhi properti luar biasa: pₙ/qₙ adalah pendekatan rasional terbaik untuk x dengan penyebut ≤ qₙ.

Pecahan Lanjutan Periodik

Berdasarkan teorema Lagrange, bilangan riil memiliki pecahan lanjutan periodik jika dan hanya jika ia merupakan irasional kuadrat (solusi persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan bulat). Ini mencakup semua akar kuadrat dari bilangan bulat yang bukan kuadrat sempurna.

• √2 = [1; 2] — periode panjang 1
• √3 = [1; 1, 2] — periode panjang 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — periode panjang 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — periode panjang 16

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan nilai: desimal (misal 2.71828), pecahan (misal 355/113), atau akar kuadrat (misal sqrt(7))
2. Atur istilah maksimum: lebih banyak istilah memberikan lebih banyak hasil bagi parsial dan konvergen
3. Klik Hitung: lihat notasi pecahan lanjutan, istilah animasi, visualisasi bersarang, tabel konvergen, dan langkah Euclidean (untuk pecahan)

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu pecahan lanjutan?

Pecahan lanjutan adalah ekspresi berbentuk a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) di mana a₀, a₁, a₂, ... adalah bilangan bulat yang disebut hasil bagi parsial. Setiap bilangan riil memiliki ekspansi pecahan lanjutan. Bilangan rasional memiliki ekspansi terbatas; bilangan irasional memiliki ekspansi tak terbatas. Irasional kuadrat (seperti akar kuadrat) memiliki ekspansi periodik.

Bagaimana cara mengubah desimal menjadi pecahan lanjutan?

Ambil bagian bilangan bulat (floor) sebagai istilah pertama. Kurangi dari angka tersebut, ambil kebalikannya (resiprokal), dan ulangi. Misalnya, π ≈ 3.14159...: floor = 3, sisa = 0.14159..., resiprokal = 7.062..., floor = 7, sisa = 0.062..., resiprokal = 15.996..., floor = 15, menghasilkan [3; 7, 15, ...].

Mengapa sqrt(2) memiliki pecahan lanjutan periodik?

Berdasarkan teorema Lagrange, bilangan riil memiliki pecahan lanjutan periodik tepat ketika ia adalah irasional kuadrat. √2 memenuhi x² = 2, sehingga ia adalah irasional kuadrat, menghasilkan [1; 2, 2, 2, ...]. Rasio emas φ = (1 + √5)/2 menghasilkan [1; 1, 1, 1, ...] — periode paling sederhana yang mungkin.

Apa itu konvergen dan mengapa mereka penting?

Konvergen adalah pecahan yang diperoleh dengan memotong pecahan lanjutan. Mereka adalah pendekatan rasional terbaik — tidak ada pecahan dengan penyebut lebih kecil yang lebih dekat dengan angka target. Inilah sebabnya 22/7 dan 355/113 adalah pendekatan terkenal untuk π: mereka adalah konvergen dari pecahan lanjutan π.

Bagaimana hubungan algoritma pecahan lanjutan dengan algoritma Euclidean?

Ketika input adalah pecahan p/q, menghitung pecahan lanjutannya identik dengan algoritma FPB Euclidean. Setiap langkah sisa-dan-hasil bagi menghasilkan tepat satu hasil bagi parsial. Pecahan lanjutan berakhir tepat saat FPB ditemukan.

Sumber Daya Tambahan

• Continued Fraction - Wikipedia
• Convergents - Wikipedia
• Euclidean Algorithm - Wikipedia