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연분수 계산기

모든 소수, 분수 또는 제곱근을 연합분수 표현으로 변환합니다. 수렴 분수, 단계별 유클리드 호제법 및 대화형 시각화를 제공합니다.

무료로 사용가입 필요 없음2026년 2월 업데이트
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예시 실행해보기:
3.14159265 π 1.6180339887 φ sqrt(2) √2 355/113 π≈ 2.71828182 e sqrt(7) √7

연분수 계산기 위젯 삽입

연분수 계산기 정보

연분수 계산기에 오신 것을 환영합니다. 이 강력한 도구는 모든 소수, 분수 또는 제곱근을 연분수 표현으로 변환합니다. 유명한 표기법인 [a₀; a₁, a₂, ...]를 확인하고, 유리수 근사치(근사분수)를 탐색하며, 대화형으로 중첩된 분수 구조를 시각화해 보세요.

연분수란 무엇입니까?

연분수는 숫자를 정수 부분과 분수가 중첩된 수열로 표현하는 방식입니다.

일반적인 연분수 형태
$$x = a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{a_3 + \cdots}}}$$

여기서 a₀, a₁, a₂, ...는 부분 몫이라고 불리는 비음의 정수입니다. 표준 표기법은 [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]입니다. 몇 가지 주목할 만한 예시는 다음과 같습니다.

  • π (원주율) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — 292라는 숫자는 파이가 355/113에 의해 매우 잘 근사됨을 의미합니다.
  • φ (황금비) = [1; 1, 1, 1, ...] — 가장 천천히 수렴하는 연분수입니다.
  • √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — 라그랑주 정리에 의해 예측된 바와 같이 순환합니다.
  • e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — 아름다운 패턴을 보입니다.

알고리즘 작동 방식

모든 소수 x에 대하여

  1. a₀ = ⌊x⌋ (x의 바닥 함수)를 계산합니다.
  2. x₁ = 1/(x − a₀)로 설정한 다음, a₁ = ⌊x₁⌋를 계산합니다.
  3. 반복: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
  4. 소수 부분이 0이 되거나(유리수), 충분한 항을 얻었을 때 중단합니다.

분수 p/q에 대하여 (유클리드 호제법)

분수의 경우, 알고리즘은 GCD를 구하는 유클리드 호제법과 동일합니다.

유클리드와의 관계
$$\frac{p}{q} = a_0 + \frac{r_1}{q} \;\Rightarrow\; a_0 = \left\lfloor \frac{p}{q} \right\rfloor, \quad \frac{p}{q} = a_0 + \cfrac{1}{q/r_1}$$

유클리드 호제법의 각 나눗셈 단계는 연분수의 부분 몫 하나를 생성합니다.

근사분수: 최적의 유리수 근사치

근사분수(Convergents) pₙ/qₙ는 각 단계에서 연분수를 절단하여 얻습니다. 이들은 놀라운 특성을 만족합니다: pₙ/qₙ는 분모가 qₙ 이하인 유리수 중에서 x에 대한 가장 정확한 근사치입니다.

근사분수 점화식
$$p_n = a_n \cdot p_{n-1} + p_{n-2}, \qquad q_n = a_n \cdot q_{n-1} + q_{n-2}$$
숫자근사분수소수 근사치오차
π3/13.00.14
π22/73.142857...1.3 × 10⁻³
π333/1063.14150...8.3 × 10⁻⁶
π355/1133.1415929...2.7 × 10⁻⁷
√21/11.00.41
√23/21.50.086
√27/51.40.014
√217/121.41̅6̅2.5 × 10⁻³

순환 연분수

라그랑주 정리에 따르면, 실수가 순환 연분수를 갖는 것은 그것이 이차 무리수(정수 계수 이차 방정식의 근)일 때뿐입니다. 여기에는 완전제곱수가 아닌 모든 정수의 제곱근이 포함됩니다.

  • √2 = [1; 2] — 주기 길이 1
  • √3 = [1; 1, 2] — 주기 길이 2
  • √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — 주기 길이 4
  • √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — 주기 길이 16

이 계산기 사용 방법

  1. 값 입력: 소수(예: 2.71828), 분수(예: 355/113), 또는 제곱근(예: sqrt(7))을 입력합니다.
  2. 최대 항수 설정: 항수가 많을수록 더 많은 부분 몫과 근사분수가 생성됩니다.
  3. 계산하기 클릭: 연분수 표기법, 애니메이션 항, 시각화, 근사분수 표 및 유클리드 단계(분수의 경우)를 확인합니다.

자주 묻는 질문

연분수란 무엇입니까?

연분수는 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) 형태의 식으로, 여기서 a₀, a₁, a₂, ...는 부분 몫이라 불리는 정수입니다. 모든 실수는 연분수 전개가 가능합니다. 유리수는 유한한 전개를 가지며, 무리수는 무한한 전개를 가집니다. 제곱근과 같은 이차 무리수는 순환 전개를 가집니다.

소수를 연분수로 어떻게 변환합니까?

첫 번째 항으로 정수 부분(floor)을 취합니다. 숫자에서 그 부분을 빼고 역수를 취한 뒤 과정을 반복합니다. 예를 들어, π ≈ 3.14159...의 경우: 정수 = 3, 나머지 = 0.14159..., 역수 = 7.062..., 정수 = 7, 나머지 = 0.062..., 역수 = 15.996..., 정수 = 15 순으로 진행되어 [3; 7, 15, ...]를 얻습니다.

왜 sqrt(2)는 순환 연분수를 가집니까?

라그랑주 정리에 의해, 실수는 이차 무리수일 때만 순환 연분수를 가집니다. √2는 x² = 2를 만족하므로 이차 무리수이며, [1; 2, 2, 2, ...]를 생성합니다. 황금비 φ = (1 + √5)/2는 [1; 1, 1, 1, ...]을 생성하며 이는 가능한 가장 단순한 주기입니다.

근사분수란 무엇이며 왜 중요합니까?

근사분수는 연분수를 중간에 잘라서 만든 분수입니다. 이들은 최적의 유리수 근사치입니다. 분모가 더 작은 어떤 분수도 대상 숫자에 더 가까울 수 없습니다. 이것이 22/7과 355/113이 π의 유명한 근사치인 이유입니다. 이들은 π의 연분수 전개에서 나온 근사분수들입니다.

연분수 알고리즘은 유클리드 호제법과 어떤 관련이 있습니까?

입력값이 분수 p/q인 경우, 연분수를 계산하는 것은 유클리드 호제법과 동일합니다. 각 나머지-몫 단계는 정확히 하나의 부분 몫을 생성합니다. 연분수는 최대공약수(GCD)를 찾았을 때 정확히 종료됩니다.

추가 자료

이 콘텐츠, 페이지 또는 도구를 다음과 같이 인용하세요:

"연분수 계산기" - https://MiniWebtool.com/ko/연분수-계산기/에서 MiniWebtool 인용, https://MiniWebtool.com/

miniwebtool 팀 제작. 업데이트: 2026년 2월 18일

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