เครื่องคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณเศษส่วนต่อเนื่อง — เครื่องมืออันทรงพลังที่แปลงทศนิยม เศษส่วน หรือรากที่สองให้เป็นการแสดงผลในรูปเศษส่วนต่อเนื่อง พบกับสัญกรณ์ที่มีชื่อเสียง [a₀; a₁, a₂, ...] สำรวจการประมาณค่าตรรกยะ (ค่าลู่เข้า) และแสดงภาพโครงสร้างเศษส่วนซ้อนแบบโต้ตอบ

เศษส่วนต่อเนื่องคืออะไร?

เศษส่วนต่อเนื่อง (Continued Fraction) คือวิธีการแสดงตัวเลขในรูปแบบของลำดับส่วนของจำนวนเต็มและเศษส่วนที่ซ้อนกัน:

โดยที่ a₀, a₁, a₂, ... เป็นจำนวนเต็มบวกที่เรียกว่า ผลหารย่อย (partial quotients) สัญกรณ์มาตรฐานคือ [a₀; a₁, a₂, a₃, ...] ตัวอย่างที่น่าสนใจ:

• π (พาย) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] — เลข 292 หมายความว่าค่าพายถูกประมาณได้อย่างแม่นยำมากด้วย 355/113
• φ (อัตราส่วนทองคำ) = [1; 1, 1, 1, ...] — เศษส่วนต่อเนื่องที่ลู่เข้าช้าที่สุด
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] — แบบซ้ำ ตามที่ทำนายไว้โดยทฤษฎีบทของลากรานจ์
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] — รูปแบบที่สวยงาม

ขั้นตอนวิธีทำงานอย่างไร

สำหรับทศนิยม x ใดๆ

1. คำนวณ a₀ = ⌊x⌋ (ค่าพื้นของ x)
2. กำหนด x₁ = 1/(x − a₀) จากนั้นคำนวณ a₁ = ⌊x₁⌋
3. ทำซ้ำ: xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. หยุดเมื่อส่วนที่เป็นเศษส่วนเป็นศูนย์ (เป็นตรรกยะ) หรือเมื่อได้จำนวนพจน์เพียงพอแล้ว

สำหรับเศษส่วน p/q (ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด)

สำหรับเศษส่วน ขั้นตอนวิธีจะเหมือนกับ ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด (Euclidean algorithm) ในการหา ห.ร.ม.:

แต่ละขั้นตอนการหารของขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดจะสร้างผลหารย่อยหนึ่งตัวของเศษส่วนต่อเนื่อง

ค่าลู่เข้า: การประมาณค่าตรรกยะที่ดีที่สุด

ค่าลู่เข้า (Convergents) pₙ/qₙ ได้มาจากการตัดทอนเศษส่วนต่อเนื่องในแต่ละขั้นตอน สิ่งเหล่านี้มีคุณสมบัติที่โดดเด่นคือ: pₙ/qₙ คือการประมาณค่าตรรกยะที่ดีที่สุดสำหรับ x โดยมีตัวส่วน ≤ qₙ

เศษส่วนต่อเนื่องแบบซ้ำ

ตาม ทฤษฎีบทของลากรานจ์ จำนวนจริงจะมีเศษส่วนต่อเนื่องแบบซ้ำก็ต่อเมื่อเป็น จำนวนอตรรกยะกำลังสอง (ผลเฉลยของสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม) ซึ่งรวมถึงรากที่สองของจำนวนเต็มที่ไม่ใช่กำลังสองสมบูรณ์ทั้งหมด

• √2 = [1; 2] — คาบยาว 1
• √3 = [1; 1, 2] — คาบยาว 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] — คาบยาว 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] — คาบยาว 16

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

1. กรอกค่า: ทศนิยม (เช่น 2.71828), เศษส่วน (เช่น 355/113) หรือรากที่สอง (เช่น sqrt(7))
2. กำหนดจำนวนพจน์สูงสุด: จำนวนพจน์ที่มากขึ้นจะให้ผลหารย่อยและค่าลู่เข้าที่มากขึ้น
3. คลิกคำนวณ: ดูสัญกรณ์เศษส่วนต่อเนื่อง, แอนิเมชันของพจน์ต่างๆ, การแสดงภาพแบบซ้อน, ตารางค่าลู่เข้า และขั้นตอนแบบยุคลิด (สำหรับเศษส่วน)

คำถามที่พบบ่อย

เศษส่วนต่อเนื่องคืออะไร?

เศษส่วนต่อเนื่องคือนิพจน์ในรูปแบบ a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) โดยที่ a₀, a₁, a₂, ... เป็นจำนวนเต็มที่เรียกว่าผลหารย่อย จำนวนจริงทุกจำนวนสามารถขยายเป็นเศษส่วนต่อเนื่องได้ จำนวนตรรกยะจะขยายได้จำกัด ส่วนจำนวนอตรรกยะจะขยายได้ไม่สิ้นสุด และจำนวนอตรรกยะกำลังสอง (เช่น รากที่สอง) จะขยายเป็นรูปแบบซ้ำ

วิธีแปลงทศนิยมเป็นเศษส่วนต่อเนื่องทำอย่างไร?

ใช้ค่าพื้น (ส่วนที่เป็นจำนวนเต็ม) เป็นพจน์แรก ลบออกด้วยจำนวนเดิม กลับเศษเป็นส่วน และทำซ้ำ ตัวอย่างเช่น π ≈ 3.14159...: ค่าพื้น = 3, ส่วนที่เหลือ = 0.14159..., กลับเศษเป็นส่วน = 7.062..., ค่าพื้น = 7, ส่วนที่เหลือ = 0.062..., กลับเศษเป็นส่วน = 15.996..., ค่าพื้น = 15 จะได้ [3; 7, 15, ...]

ทำไม sqrt(2) ถึงมีเศษส่วนต่อเนื่องแบบซ้ำ?

ตามทฤษฎีบทของลากรานจ์ จำนวนจริงจะมีเศษส่วนต่อเนื่องแบบซ้ำก็ต่อเมื่อเป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสอง √2 สอดคล้องกับ x² = 2 จึงเป็นจำนวนอตรรกยะกำลังสอง ให้ค่าเป็น [1; 2, 2, 2, ...] สำหรับอัตราส่วนทองคำ φ = (1 + √5)/2 ให้ค่าเป็น [1; 1, 1, 1, ...] ซึ่งเป็นคาบที่ง่ายที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้

ค่าลู่เข้าคืออะไรและทำไมถึงสำคัญ?

ค่าลู่เข้าคือเศษส่วนที่ได้จากการตัดทอนเศษส่วนต่อเนื่อง เป็นการประมาณค่าตรรกยะที่ดีที่สุด — ไม่มีเศษส่วนที่มีตัวส่วนน้อยกว่าจะเข้าใกล้ตัวเลขเป้าหมายได้มากกว่านี้ นี่คือสาเหตุที่ 22/7 และ 355/113 เป็นการประมาณค่าที่โด่งดังของ π เพราะทั้งคู่คือค่าลู่เข้าของเศษส่วนต่อเนื่องของ π

ขั้นตอนวิธีเศษส่วนต่อเนื่องเกี่ยวข้องกับขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดอย่างไร?

เมื่อข้อมูลนำเข้าเป็นเศษส่วน p/q การคำนวณเศษส่วนต่อเนื่องจะเหมือนกับขั้นตอนวิธีแบบยุคลิดหา ห.ร.ม. แต่ละขั้นตอนของเศษที่เหลือและผลหารจะสร้างผลหารย่อยหนึ่งตัวพอดี เศษส่วนต่อเนื่องจะสิ้นสุดลงเมื่อพบ ห.ร.ม.

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

• เศษส่วนต่อเนื่อง - Wikipedia
• ค่าลู่เข้า - Wikipedia
• ขั้นตอนวิธีแบบยุคลิด - Wikipedia