Calculadora de Rotacional

Calcule el rotacional ∇×F de cualquier campo vectorial 2D o 3D con la expansión del determinante del producto cruz paso a paso. Ingrese las funciones componentes P, Q (y R para 3D), obtenga el rotacional simbólico, evalúelo en un punto, identifique campos irrotacionales y vea una visualización interactiva del campo vectorial con superposición de vorticidad.

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Calculadora de Rotacional

La Calculadora de Rotacional calcula el rotacional ∇×F de cualquier campo vectorial 2D o 3D con una expansión completa paso a paso del determinante del producto vectorial. Ingresa las componentes P, Q de tu campo vectorial (y R para 3D), evalúalo opcionalmente en un punto específico y obtén el rotacional simbólico, la clasificación de rotación y, para campos 2D, una visualización interactiva con un mapa de calor de vorticidad y flujo de partículas animado que muestra el comportamiento rotacional del campo.

¿Qué es el Rotacional?

El rotacional de un campo vectorial $\mathbf{F}$ mide la rotación infinitesimal del campo en cada punto. Para un campo 3D $\mathbf{F} = \langle P, Q, R \rangle$, el rotacional se calcula como un producto vectorial:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}$$

La expansión del determinante da como resultado el vector rotacional:

$$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$$

Para un campo 2D $\mathbf{F} = \langle P, Q \rangle$, el rotacional se reduce al escalar $\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$, que representa la rotación en el plano xy.

Significado Físico del Rotacional

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Rotación Antihoraria (rot > 0)

Una pequeña rueda de paletas colocada aquí giraría en sentido antihorario. El campo circula en dirección positiva.

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Rotación Horaria (rot < 0)

Una pequeña rueda de paletas colocada aquí giraría en sentido horario. El campo circula en dirección negativa.

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Irrotacional (rot = 0)

Sin rotación neta: el campo es conservativo. Existe una función potencial φ tal que F = ∇φ.

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Teorema de Stokes

La integral de superficie del rotacional es igual a la integral de línea alrededor de la frontera: circulación = rotación total.

Fórmulas de Rotacional en Diferentes Sistemas de Coordenadas

Sistema de Coordenadas	Fórmula del Rotacional
Cartesiano 2D	$\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$ (escalar)
Cartesiano 3D	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle$
Cilíndrico	$\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle$
Esférico	Ver expansión completa usando factores de escala $h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta$

Identidades Importantes que Involucran el Rotacional

Identidad	Fórmula
Rotacional del gradiente	$\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}$ (siempre cero: los gradientes son irrotacionales)
Divergencia del rotacional	$\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0$ (siempre cero: los rotacionales son solenoidales)
Linealidad	$\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})$
Regla del producto	$\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}$
Teorema de Stokes	$\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$

Aplicaciones del Rotacional

Campo	Aplicación	Qué Representa el Rotacional
Electromagnetismo	Ley de Faraday	$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ — los campos magnéticos cambiantes crean campos eléctricos circulares
Electromagnetismo	Ley de Ampère	$\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}$ — las corrientes eléctricas crean campos magnéticos circulares
Dinámica de Fluidos	Vorticidad	$\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}$ — mide cómo gira el fluido localmente
Mecánica	Velocidad angular	Para la rotación de un cuerpo rígido $\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$, el rotacional da $2\boldsymbol{\omega}$
Campos conservativos	Independencia de la trayectoria	Si $\nabla \times \mathbf{F} = 0$, las integrales de línea son independientes de la trayectoria y existe un potencial

Cómo Usar la Calculadora de Rotacional

Elegir dimensión: Selecciona 2D para campos F = ⟨P, Q⟩ (rotacional escalar) o 3D para F = ⟨P, Q, R⟩ (rotacional vectorial) usando los botones de alternancia.
Ingresar funciones componentes: Escribe cada función componente (P, Q y opcionalmente R) usando notación estándar. Usa ^ para exponentes, * para multiplicación y funciones como sin(x), cos(y), exp(x), ln(x), sqrt(x). Se admite la multiplicación implícita (ej., 2x = 2*x).
Ingresar un punto de evaluación (opcional): Proporciona coordenadas separadas por comas para evaluar el rotacional numéricamente y clasificar la dirección de rotación.
Haz clic en Calcular Rotacional: Visualiza el rotacional simbólico, la expansión del determinante del producto vectorial paso a paso, la evaluación numérica y la clasificación de la rotación.
Explora la visualización: Para campos 2D, observa las flechas del campo vectorial con un mapa de calor de vorticidad (naranja = antihorario, púrpura = horario) y el flujo de partículas animado.

Ejemplo Resuelto

Halla el rotacional de $\mathbf{F}(x, y, z) = \langle y z,\; x z,\; x y \rangle$ en el punto $(1, 2, 3)$:

Paso 1: Escribe el determinante: $\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \partial_x & \partial_y & \partial_z \\ yz & xz & xy \end{vmatrix}$

Paso 2: Expande: $\mathbf{i}(x - x) - \mathbf{j}(y - y) + \mathbf{k}(z - z) = \langle 0, 0, 0 \rangle$

Paso 3: El rotacional es idénticamente cero; este campo es irrotacional (conservativo). De hecho, $\mathbf{F} = \nabla(xyz)$, lo que confirma que existe una función potencial.

Rotacional vs. Divergencia

Propiedad	Rotacional (∇×F)	Divergencia (∇·F)
Tipo de operador	Producto vectorial con ∇	Producto punto con ∇
Resultado	Vector (3D) / Escalar (2D)	Escalar
Mide	Rotación / circulación	Expansión / contracción
Cero significa	Irrotacional / conservativo	Solenoidal / incompresible
Teorema	Teorema de Stokes	Teorema de la divergencia (Gauss)

Preguntas Frecuentes

¿Qué es el rotacional de un campo vectorial?

El rotacional de un campo vectorial mide la tendencia de rotación o circulación en cada punto. Para un campo 3D F = (P, Q, R), el rotacional es un vector calculado mediante el producto vectorial del operador nabla con F: ∇×F = (∂R/∂y − ∂Q/∂z, ∂P/∂z − ∂R/∂x, ∂Q/∂x − ∂P/∂y). Un rotacional positivo indica rotación antihoraria, mientras que uno negativo indica rotación horaria.

¿Cómo se calcula el rotacional?

Para calcular el rotacional de un campo vectorial 3D, plantea un determinante de 3×3 con los vectores unitarios i, j, k en la primera fila, los operadores de derivada parcial ∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z en la segunda fila y las componentes del campo P, Q, R en la tercera fila. Expande el determinante utilizando la expansión por cofactores a lo largo de la primera fila para obtener cada componente del vector rotacional.

¿Qué significa cuando el rotacional es cero?

Cuando el rotacional es cero en todas partes, el campo vectorial se denomina irrotacional o conservativo. Esto significa que existe una función potencial escalar φ tal que F = ∇φ, y la integral de línea de F alrededor de cualquier trayectoria cerrada es cero. Los campos gravitatorios y los campos electrostáticos son ejemplos de campos irrotacionales.

¿Cuál es la diferencia entre rotacional y divergencia?

El rotacional mide la rotación y produce un vector (en 3D), mientras que la divergencia mide la expansión o contracción y produce un escalar. El rotacional utiliza el producto vectorial de nabla con F (∇×F), mientras que la divergencia utiliza el producto punto (∇·F). Un campo puede tener un rotacional distinto de cero pero una divergencia nula (como F = (−y, x, 0)), o un rotacional nulo pero una divergencia distinta de cero (como F = (x, y, z)).

¿Cuál es el significado físico del rotacional?

Físicamente, el rotacional mide la tendencia de un campo vectorial a circular o rotar alrededor de un punto. Imagina colocar una pequeña rueda de paletas en el flujo de un fluido: el rotacional te indica qué tan rápido y en qué dirección giraría la rueda. En electromagnetismo, el rotacional aparece en la ley de Faraday (los campos magnéticos cambiantes crean campos eléctricos circulares) y en la ley de Ampère (las corrientes crean campos magnéticos circulares). En dinámica de fluidos, el rotacional de la velocidad se denomina vorticidad.

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por el equipo de miniwebtool. Actualizado: 2026-04-08

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Sistema de Coordenadas	Fórmula del Rotacional
Cartesiano 2D	\(\text{rot}\,\mathbf{F} = \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\) (escalar)
Cartesiano 3D	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\; \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\; \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right\rangle\)
Cilíndrico	\(\nabla \times \mathbf{F} = \left\langle \frac{1}{r}\frac{\partial F_z}{\partial \theta} - \frac{\partial F_\theta}{\partial z},\; \frac{\partial F_r}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial r},\; \frac{1}{r}\frac{\partial(rF_\theta)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial F_r}{\partial \theta} \right\rangle\)
Esférico	Ver expansión completa usando factores de escala \(h_r=1, h_\theta=r, h_\phi=r\sin\theta\)

Identidad	Fórmula
Rotacional del gradiente	\(\nabla \times (\nabla f) = \mathbf{0}\) (siempre cero: los gradientes son irrotacionales)
Divergencia del rotacional	\(\nabla \cdot (\nabla \times \mathbf{F}) = 0\) (siempre cero: los rotacionales son solenoidales)
Linealidad	\(\nabla \times (a\mathbf{F} + b\mathbf{G}) = a(\nabla \times \mathbf{F}) + b(\nabla \times \mathbf{G})\)
Regla del producto	\(\nabla \times (f\mathbf{F}) = f(\nabla \times \mathbf{F}) + (\nabla f) \times \mathbf{F}\)
Teorema de Stokes	\(\displaystyle\iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)

Campo	Aplicación	Qué Representa el Rotacional
Electromagnetismo	Ley de Faraday	\(\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\) — los campos magnéticos cambiantes crean campos eléctricos circulares
Electromagnetismo	Ley de Ampère	\(\nabla \times \mathbf{B} = \mu_0 \mathbf{J}\) — las corrientes eléctricas crean campos magnéticos circulares
Dinámica de Fluidos	Vorticidad	\(\boldsymbol{\omega} = \nabla \times \mathbf{v}\) — mide cómo gira el fluido localmente
Mecánica	Velocidad angular	Para la rotación de un cuerpo rígido \(\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}\), el rotacional da \(2\boldsymbol{\omega}\)
Campos conservativos	Independencia de la trayectoria	Si \(\nabla \times \mathbf{F} = 0\), las integrales de línea son independientes de la trayectoria y existe un potencial

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¿Qué es el Rotacional?

Significado Físico del Rotacional

Fórmulas de Rotacional en Diferentes Sistemas de Coordenadas

Identidades Importantes que Involucran el Rotacional

Aplicaciones del Rotacional

Cómo Usar la Calculadora de Rotacional

Ejemplo Resuelto

Rotacional vs. Divergencia

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