Calculadora de Distribución Normal

La Calculadora de Distribución Normal calcula probabilidades para la distribución normal (gaussiana), la distribución de probabilidad continua más importante en estadística. Ingrese una media (μ) y una desviación estándar (σ) para encontrar la probabilidad de que una variable aleatoria caiga por debajo de un valor, por encima de un valor, entre dos valores, o para encontrar un cuantil específico. Los resultados incluyen una visualización interactiva de la campana de Gauss con el área de probabilidad sombreada, conversión a puntuación z y un desglose del cálculo paso a paso.

¿Qué es la Distribución Normal?

La distribución normal, también llamada distribución gaussiana o campana de Gauss, es una distribución de probabilidad continua simétrica centrada alrededor de su media (μ). Se describe completamente mediante dos parámetros:

• Media (μ) — el centro de la distribución, donde ocurre el pico de la campana.
• Desviación estándar (σ) — controla la dispersión; una σ mayor produce una curva más ancha y plana.

Muchos fenómenos naturales (alturas, puntuaciones en exámenes, errores de medición, puntuaciones de CI) siguen aproximadamente una distribución normal. El Teorema del Límite Central garantiza que la media de una muestra suficientemente grande de cualquier distribución converge a una distribución normal, lo que la hace fundamental para la estadística inferencial.

La Fórmula de la Distribución Normal

La Función de Densidad de Probabilidad (PDF) de una distribución normal es:

La Función de Distribución Acumulada (CDF) indica la probabilidad de que X sea menor o igual a x:

La puntuación z convierte cualquier valor de una distribución normal a la normal estándar (media = 0, desv. est. = 1):

Cómo usar esta calculadora

1. Seleccione su modo de cálculo: Elija Cola Izquierda P(X ≤ x), Cola Derecha P(X ≥ x), Entre P(a ≤ X ≤ b), o Inverso (encontrar x a partir de la probabilidad).
2. Ingrese los parámetros de la distribución: Introduzca la media (μ) y la desviación estándar (σ). Para la distribución normal estándar, use μ = 0 y σ = 1.
3. Ingrese sus valores específicos: Dependiendo del modo, ingrese el valor x, los límites inferior/superior o la probabilidad objetivo.
4. Revise los resultados: Haga clic en Calcular para ver la probabilidad, la puntuación z, la campana de Gauss interactiva con el área sombreada y el desglose paso a paso.

Entendiendo PDF, CDF y CDF Inversa

• PDF (Función de Densidad de Probabilidad): Proporciona la verosimilitud relativa de un valor específico. Representa la altura de la campana en un punto dado. Para distribuciones continuas, la PDF en sí misma no es una probabilidad; las probabilidades provienen de integrar la PDF sobre un intervalo.
• CDF (Función de Distribución Acumulada): Proporciona P(X ≤ x), la probabilidad de que la variable esté en o por debajo de un valor dado. Gráficamente, es el área bajo la curva a la izquierda de x. La CDF oscila entre 0 y 1.
• CDF Inversa (Función Cuantil): Lo inverso de la CDF; dada una probabilidad p, encuentra el valor x tal que P(X ≤ x) = p. Por ejemplo, la CDF inversa en p = 0.975 para la normal estándar da x ≈ 1.96.

La Regla 68-95-99.7

La regla empírica (también llamada regla de los tres sigmas) proporciona estimaciones rápidas de probabilidad para cualquier distribución normal:

Esto significa que aproximadamente el 68% de los valores caen dentro de una desviación estándar de la media, el 95% dentro de dos y casi todos (99.7%) dentro de tres. Los valores más allá de 3σ son extremadamente raros en una distribución normal.

Tabla de Referencia de Puntuaciones Z Comunes

Aplicaciones Comunes de la Distribución Normal

• Control de Calidad: Monitoreo de procesos de fabricación mediante gráficos de control y límites de especificación basados en μ ± nσ.
• Pruebas de Hipótesis: Determinación de valores p y valores críticos para pruebas z e intervalos de confianza.
• Pruebas Estandarizadas: Los puntajes SAT, GRE y CI están diseñados para seguir una distribución normal, lo que permite comparaciones por percentiles.
• Ciencias Naturales: Errores de medición, rasgos biológicos (altura, peso) y muchas magnitudes físicas están distribuidos normalmente.
• Finanzas: El modelo Black-Scholes y el Valor en Riesgo (VaR) asumen rendimientos distribuidos normalmente para la valoración de opciones y evaluación de riesgos.

Preguntas Frecuentes

¿Qué es una distribución normal?

Una distribución normal (también llamada distribución gaussiana o campana de Gauss) es una distribución de probabilidad continua y simétrica definida por su media y desviación estándar. Es la distribución más importante en estadística porque muchos fenómenos naturales la siguen aproximadamente, y el Teorema del Límite Central garantiza que las medias muestrales convergen a ella independientemente de la distribución subyacente.

¿Qué es una puntuación z y cómo se utiliza?

Una puntuación z mide a cuántas desviaciones estándar se encuentra un valor de la media. Se calcula como z = (x − μ) / σ. Las puntuaciones z le permiten comparar valores de diferentes distribuciones normales al convertirlos a la distribución normal estándar (media = 0, desviación estándar = 1). Una puntuación z de 1.96 corresponde al percentil 97.5.

¿Cuál es la diferencia entre PDF y CDF?

La PDF (Función de Densidad de Probabilidad) indica la verosimilitud relativa de un valor específico, representando la altura de la campana en ese punto. La CDF (Función de Distribución Acumulada) indica la probabilidad de que una variable aleatoria sea menor o igual a un valor específico, representando el área bajo la curva a la izquierda de ese punto. La CDF siempre oscila entre 0 y 1.

¿Qué es la regla 68-95-99.7?

La regla 68-95-99.7 (también llamada regla empírica o regla de los tres sigmas) establece que para una distribución normal, aproximadamente el 68.27% de los valores caen dentro de una desviación estándar de la media, el 95.45% dentro de dos desviaciones estándar y el 99.73% dentro de tres desviaciones estándar. Esta regla ayuda a estimar probabilidades rápidamente sin cálculos detallados.

¿Cómo encuentro la probabilidad entre dos valores?

Para encontrar la probabilidad entre dos valores a y b en una distribución normal, calcule P(a ≤ X ≤ b) = CDF(b) − CDF(a). Primero convierta ambos valores a puntuaciones z usando z = (x − media) / desviación estándar, luego busque o compute la CDF para cada puntuación z y reste los resultados. Esta calculadora automatiza este proceso en el modo Entre.