單位向量計算機

單位向量計算機

單位向量計算機使用公式 \(\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\) 計算任何給定 2D、3D 或 n 維向量的方向正規化向量（單位向量）。輸入您的向量分量，即可立即獲得單位向量、長度（模）、方向角、縮放因子，以及帶有結果向量長度為 1 之視覺驗證的逐步正規化過程。

什麼是單位向量？

單位向量是長度（模）恰好為 1 的向量。它僅保留原始向量的方向，而去除其長度大小。單位向量通常用帶有「帽」形的符號表示：\(\hat{v}\)（讀作 "v-hat"）。每個非零向量都有一個唯一的、指向相同方向的單位向量。

標準基單位向量

任何向量都可以表示為這些基單位向量的線性組合：\(\vec{v} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j} + v_z\hat{k}\)。

單位向量公式

現實世界應用

如何使用單位向量計算機

1. 選擇維度： 選擇 2D、3D 或高維度的自定義維度。或點擊快速範例以自動填充範例向量。
2. 輸入向量： 輸入以逗號分隔的分量（例如，2D 為 3, 4 或 3D 為 1, 2, 3）。
3. 查看即時預覽： 圖表會實時更新，在單位圓上顯示原始向量和單位向量。
4. 點擊正規化向量： 按下按鈕以獲得完整結果，包括單位向量、方向角、分量細分和逐步驗證。
5. 探索動畫： 點擊「動畫播放」按鈕觀察正規化過程 — 原始向量會平滑地縮小至單位圓。

單位向量的性質

• 長度始終為 1： 根據定義 \(|\hat{v}| = 1\) — 這是任何正規化過程的關鍵驗證。
• 與原始向量方向相同： \(\hat{v}\) 指向與 \(\vec{v}\) 完全相同的方向。
• 純量關係： \(\vec{v} = |\vec{v}| \cdot \hat{v}\)，因此任何向量都等於其長度乘以其單位向量。
• 方向餘弦： 單位向量的分量正是與各個坐標軸夾角的餘弦值。
• 點積關係： \(\hat{a} \cdot \hat{b} = \cos\theta\)，其中 θ 是兩個單位向量之間的夾角。

常見問題解答