連分數計算機

歡迎使用連分數計算機 —— 這是一個強大的工具，可將任何小數、分數或平方根轉換為其連分數表示形式。查看著名的符號 [a₀; a₁, a₂, ...]，探索有理逼近（漸近分數），並以交互方式觀察嵌套分數結構。

什麼是連分數？

連分數是一種將數字表示為整數部分和分數的嵌套序列的方法：

其中 a₀, a₁, a₂, ... 是非負整數，稱為部分商。標準符號為 [a₀; a₁, a₂, a₃, ...]。一些著名的例子：

• π (圓周率) ≈ [3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, ...] —— 其中 292 意味著 pi 可以被 355/113 極好地逼近
• φ (黃金比例) = [1; 1, 1, 1, ...] —— 收斂最慢的連分數
• √2 = [1; 2, 2, 2, ...] —— 週期性的，正如拉格朗日定理所預測的那樣
• e = [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, ...] —— 美麗的模式

算法如何運作

對於任何小數 x

1. 計算 a₀ = ⌊x⌋（x 的地板函數）
2. 設置 x₁ = 1/(x − a₀)，然後計算 a₁ = ⌊x₁⌋
3. 重複：xₙ₊₁ = 1/(xₙ − aₙ), aₙ₊₁ = ⌊xₙ₊₁⌋
4. 當小數部分為零（有理數）或您已獲得足夠項數時停止

對於分數 p/q（歐幾里得算法）

對於分數，該算法與計算最大公因數的歐幾里得算法完全相同：

歐幾里得算法的每個除法步驟都會產生連分數的一個部分商。

漸近分數：最佳有理逼近

漸近分數 pₙ/qₙ 是通過在每一步截斷連分數獲得的。它們滿足一個非凡的性質：pₙ/qₙ 是分母 ≤ qₙ 的情況下對 x 的最佳有理逼近。

週期性連分數

根據拉格朗日定理，一個實數具有週期性連分數當且僅當它是二次無理數（整係數二次方程的解）。這包括所有非完全平方數整數的平方根。

• √2 = [1; 2] —— 週期長度為 1
• √3 = [1; 1, 2] —— 週期長度為 2
• √7 = [2; 1, 1, 1, 4] —— 週期長度為 4
• √94 = [9; 1, 2, 3, 1, 1, 5, 1, 8, 1, 5, 1, 1, 3, 2, 1, 18] —— 週期長度為 16

如何使用此計算機

1. 輸入一個數值：小數（例如 2.71828）、分數（例如 355/113）或平方根（例如 sqrt(7)）
2. 設置最大項數：項數越多，產生的部分商和漸近分數就越多
3. 點擊計算：查看連分數符號、動畫項、嵌套可視化、漸近分數表和歐幾里得步驟（針對分數）

常見問題

什麼是連分數？

連分數是形式如 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + ...)) 的表達式，其中 a₀, a₁, a₂, ... 是被稱為部分商的整數。每個實數都有連分數展開式。有理數具有有限展開式；無理數具有無限展開式。二次無理數（如平方根）具有週期性展開式。

如何將小數轉換為連分數？

取地板函數（整數部分）作為第一項。從原數中減去它，取倒數，然後重複。例如，π ≈ 3.14159...：整數部分 = 3，餘數 = 0.14159...，倒數 = 7.062...，整數部分 = 7，餘數 = 0.062...，倒數 = 15.996...，整數部分 = 15，得到 [3; 7, 15, ...].

為什麼 sqrt(2) 具有週期性連分數？

根據拉格朗日定理，實數具有週期性連分數精確發生在它是二次無理數時。√2 滿足 x² = 2，因此它是二次無理數，得到 [1; 2, 2, 2, ...]。黃金比例 φ = (1 + √5)/2 得到 [1; 1, 1, 1, ...] —— 最簡單的可能週期。

什麼是漸近分數，為什麼它們很重要？

漸近分數是通過截斷連分數獲得的分數。它們是最佳有理逼近 —— 沒有分母更小的分數比它更接近目標數。這就是為什麼 22/7 和 355/113 是著名的 π 逼近值：它們是 π 連分數的漸近分數。

連分數算法與歐幾里得算法有什麼關係？

當輸入為分數 p/q 時，計算其連分數與歐幾里得最大公因數算法相同。每個餘數和商的步驟精確產生一個部分商。連分數精確在找到最大公因數時終止。

其他資源

• 連分數 - 維基百科
• 漸近分數 - 維基百科
• 歐幾里得算法 - 維基百科