自 2010 年 · 每月支援超過 200 萬次工具執行
自 2010 年
加到 Chrome

我的工具箱

自動模式

尚未收藏任何工具。

升級為高級版
相關工具
立方和計算機連續數之和計算機幾何序列計算機
主頁 > 數學 > 進階數學計算
 

平方和計算機

MiniWebtool 的平方和計算工具會將數列、範圍或自訂資料中的數值平方後加總。查看公式步驟及幾何視圖，了解總和如何組成。

不確定怎麼使用？問問 AI
Gemini (複製並開啟)

使用 Gemini 時，請將複製的問題貼到對話框，也可以在下方手動複製。

查看提問內容

免費使用無需註冊即時出結果
平方和計算機立即免費試用 ▼
三個三角形相加：1² + 2² + … + n² = n(n+1)(2n+1)/6

在下方輸入 n、一個範圍或自訂的數，即可算出平方和，並顯示公式步驟與圖表。

快速示例

Embed 平方和計算機 Widget

平方和計算機

歡迎使用平方和計算機，這是一個全面的數學工具，可計算連續平方數之和，並提供逐步公式分解、互動式視覺化和幾何表示。無論您是在學習代數、分析統計變異數、解決物理問題還是探索數論，此計算機都能為您的需求提供專業級的計算。

功能概覽

平方和計算機以三種模式加總平方數：前 N 個平方數、從 n1 到 n2 的平方範圍，或自訂清單。它會顯示公式步驟、長條圖及各項數值。

平方和計算機：功能一覽
功能提供內容適用情境
前 N 個平方數以 n(n+1)(2n+1)/6 計算 1^2 + 2^2 + ... + n^2。從 1 到 100 的總和為 338,350。代數與數論練習
平方範圍先算到 n2^2 的總和，再減去到 (n1-1)^2 的總和，得出 n1^2 至 n2^2 的和。加總從 1 以上開始的平方數
自訂清單輸入特定數字，逐一平方後相加。平方資料數值，例如計算變異數時
逐步計算顯示公式拆解並列出各項數值。作業需要展示計算過程時
圖表與幾何長條圖繪製各個平方數，並以面積表示平方數的幾何概念。將總和視為合併後的面積

什麼是平方和？

平方和是指將一系列數字的平方相加。最常見的形式是前 n 個自然數的平方和：1² + 2² + 3² + ... + n²。這個基本的數學概念貫穿於數學、統計學、物理學和工程學中。

平方數 (1, 4, 9, 16, 25, ...) 代表完全平方數，可以形象化為邊長為整數的正方形的面積。平方和將這些面積合併為一個總量。

前 n 個平方和公式

封閉形式公式
$$\sum_{k=1}^{n} k^2 = 1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

這個優雅的公式由數學家在幾個世紀前發現，可以立即計算出總和，而無需單獨加總每個平方。例如，從 1 到 100 的平方和等於 100 × 101 × 201 / 6 = 338,350。

連續平方和（範圍）公式

要找到從 n1² 到 n2² 的平方和，請從前 n2 個平方和中減去前 (n1-1) 個平方和：

範圍公式
$$\sum_{k=n_1}^{n_2} k^2 = \frac{n_2(n_2+1)(2n_2+1)}{6} - \frac{(n_1-1)n_1(2n_1-1)}{6}$$

如何使用此計算機

  1. 選擇計算模式：
    • 前 N 個平方： 計算 1² + 2² + ... + n²（輸入 n）
    • 範圍： 計算 n₁² + ... + n₂²（輸入上下限）
    • 自定義列表： 輸入特定數字進行平方和計算
  2. 輸入您的數值： 根據您選擇的模式輸入所需的數字。
  3. 計算： 點擊「計算」按鈕查看結果。
  4. 查看分解： 檢查逐步計算過程、視覺化圖表和單個項。

平方和的應用

統計與數據分析

平方和是計算變異數和標準差的基礎。在變異數分析 (ANOVA) 中，它衡量組間和組內的變異。

物理與工程

用於能量計算、轉動慣量計算和信號處理。畢氏定理本質上就是一種平方和關係。

數論

探索哪些數字可以表示為平方和。拉格朗日四平方和定理指出，每個正整數都可以表示為四個整數平方之和。

機器學習

最小平方法回歸通過最小化殘差平方和來進行優化。均方誤差 (MSE) 是基於平方和的常用損失函數。

平方和 vs. 和的平方

這是兩種不同的運算，會得到不同的結果：

平方和計算機: 平方和 vs. 和的平方
概念公式示例 (n=3)
平方和1² + 2² + ... + n²1 + 4 + 9 = 14
和的平方(1 + 2 + ... + n)²(1+2+3)² = 36

這種差異可以通過展開恆等式來解釋：(a+b)² = a² + 2ab + b²。和的平方包含了平方和所沒有的交叉項。

相關公式

前 n 個自然數之和

等差數列求和
$$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$$

前 n 個立方之和

立方和
$$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$$

有趣的是，立方和等於自然數之和的平方！

常見問題

平方和的公式是什麼？

前 n 個平方之和 (1² + 2² + ... + n²) 等於 n(n+1)(2n+1)/6。這個封閉形式公式提供了一種高效的計算方法，無需逐個累加。

如何計算從 n1 到 n2 的連續平方之和？

要計算從 n1² 到 n2² 的連續平方之和，請使用公式：總和 = n2(n2+1)(2n2+1)/6 - (n1-1)(n1)(2n1-1)/6。這會從前 n2 個平方和中減去前 (n1-1) 個平方和。

平方和用於什麼？

平方和在統計學（計算變異數和標準差）、物理學（能量、畢氏定理）、信號處理、優化問題和數論中都非常重要。

從 1 到 100 的平方和是多少？

從 1 到 100 的平方和是 338,350。使用公式 n(n+1)(2n+1)/6 且 n=100：100 × 101 × 201 / 6 = 338,350。

平方和與和的平方有什麼區別？

平方和 (1² + 2² + ... + n²) 是對每個項分別平方後相加，而和的平方 (1 + 2 + ... + n)² 是先求和再平方。由於展開時存在交叉項，它們的結果不同。

平方和與變異數有什麼關係？

在統計學中，變異數是通過與平均值的離差平方和除以樣本數或母體數來計算的。這就是為什麼在變異數分析和回歸分析中經常提到「平方和」。

引用此內容、頁面或工具為：

"平方和計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/平方和計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月25日

開發者 API 可用: 用一次 JSON HTTP 請求，把這個工具接入你的應用程式、自動化流程或代理。 查看 API 文件

和喜歡的 AI 聊聊這個工具

Gemini (複製並開啟)

使用 Gemini 時，請將複製的問題貼到對話框，也可以在下方手動複製。

查看提問內容

進階數學計算:

數學求解你想解決什麼數學問題？

數學求解

試試
瀏覽更多表達式

點擊範例填入，可修改數值後求解。log 預設以 10 為底，自然對數使用 ln。

數字與因數

分數與除法

冪、根式與對數

代數與方程

微積分

幾何與三角

熱門與最新工具:

黎曼和計算機無限級數求和計算機總和計算機查看全部 →
主頁 > 數學 > 進階數學計算 > 平方和計算機