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集合論計算機

執行集合運算，包括聯集 (A ∪ B)、交集 (A ∩ B)、差集 (A − B)、對稱差 (A ∆ B)、笛卡兒積 (A × B)、冪集和補集。透過互動式文氏圖進行視覺化。

集合論計算機
∩
定義您的集合
輸入以逗號分隔的元素 — 數字、字母或單詞
⚡ 快速範例
以逗號分隔元素
以逗號分隔元素
▶ 集合 C 和全集 (選填)
用於三集合運算和三元文氏圖
補集運算所需
⚠
✓ 集合運算已計算

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集合論計算機

什麼是集合論？

集合論是數學邏輯的一個分支，研究被稱為集合的對象蒐集。它由喬治·康托爾在 1870 年代創立，已成為幾乎所有現代數學的基礎。集合由其成員定義——當且僅當兩個集合具有完全相同的元素時，它們才是相等的。

  • 離散數學 — 組合數學、圖論和形式語言的基礎
  • 電腦科學 — 資料結構 (HashSet, TreeSet)、資料庫查詢 (JOIN = 交集, UNION = 聯集) 和類型系統
  • 機率論 — 事件被建模為集合，聯集和交集對應於「或」與「且」事件
  • 邏輯學 — 文氏圖視覺化邏輯關係；集合運算反映了邏輯運算子

如何使用此集合論計算機

輸入每個集合的元素並以逗號分隔。您可以使用數字、字母、單詞或任何文字作為元素。計算機將自動計算所有主要的集合運算並顯示互動式文氏圖。

  • 輸入以逗號分隔的元素 — 例如，1, 2, 3, 4, 5 或 蘋果, 香蕉, 櫻桃
  • 使用 集合 C（可選）進行三集合運算和三元文氏圖
  • 定義 全集 以計算補集 (Aᶜ, Bᶜ)
  • 點擊 文氏圖運算按鈕 以突出顯示不同的區域
  • 使用 屬性分頁 檢查基數、子集關係和集合相等性

集合運算參考

運算符號描述範例
聯集 A ∪ B 屬於 A 或屬於 B 的元素（或兩者皆是） {1,2,3} ∪ {3,4,5} = {1,2,3,4,5}
交集 A ∩ B 同時屬於 A 和 B 的元素 {1,2,3} ∩ {3,4,5} = {3}
差集 A − B 屬於 A 但不屬於 B 的元素 {1,2,3} − {3,4,5} = {1,2}
對稱差 A ∆ B 屬於 A 或 B 但不同時屬於兩者的元素 {1,2,3} ∆ {3,4,5} = {1,2,4,5}
笛卡兒積 A × B 所有有序對 (a,b)，其中 a∈A, b∈B {1,2} × {a,b} = {(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)}
冪集 ℘(A) A 的所有可能子集 ℘({1,2}) = {∅,{1},{2},{1,2}}
補集 Aᶜ 屬於全集但不屬於 A 的元素 若 U={1,2,3,4,5}, A={1,2} → Aᶜ={3,4,5}
是否為子集 A ⊆ B A 的每個元素是否也都在 B 中 {1,2} ⊆ {1,2,3} = True

核心集合論定律

這些基本定律管理集合運算如何相互作用，類似於數字的代數定律：

  • 交換律： A ∪ B = B ∪ A 且 A ∩ B = B ∩ A
  • 結合律： (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) 且 (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
  • 分配律： A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
  • 德·摩根定律： (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ 且 (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
  • 單位律： A ∪ ∅ = A 且 A ∩ U = A
  • 補集律： A ∪ Aᶜ = U 且 A ∩ Aᶜ = ∅
  • 冪等律： A ∪ A = A 且 A ∩ A = A

集合論的應用

理解集合運算在許多領域都至關重要：

  • SQL 資料庫 — UNION, INTERSECT, EXCEPT 是對查詢結果的集合運算
  • Python 程式設計 — set 類型支援 | (聯集), & (交集), - (差集)
  • 機率論 — P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) (容斥原理)
  • 數位邏輯 — 集合運算對應於邏輯閘運算 (OR, AND, NOT)
  • 數據分析 — 比較數據集、查找共通記錄、識別唯一條目

引用此內容、頁面或工具為：

"集合論計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/集合論計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

集合論計算機使用標準集合論定義。如需更多資訊，請參見 集合論 - 維基百科。

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