Calculadora de Distribución Hipergeométrica

Calculadora de Distribución Hipergeométrica

La Calculadora de Distribución Hipergeométrica calcula probabilidades exactas para escenarios de muestreo sin reemplazo. Ingrese el tamaño de su población (N), el número de elementos de éxito (K), el número de extracciones (n) y el número deseado de éxitos (k) para obtener instantáneamente probabilidades puntuales y acumuladas con soluciones combinatorias paso a paso y visualizaciones interactivas.

¿Qué es la distribución hipergeométrica?

La distribución hipergeométrica es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos en una secuencia de n extracciones de una población finita de tamaño N que contiene exactamente K elementos de éxito, extraídos sin reemplazo. A diferencia de la distribución binomial —que supone que cada ensayo es independiente—, la distribución hipergeométrica tiene en cuenta el hecho de que cada extracción cambia la composición de la población restante.

La fórmula de la PMF hipergeométrica

La función de masa de probabilidad (PMF) es:

P(X = k) = C(K, k) × C(N − K, n − k) / C(N, n)

Donde C(a, b) = a! / (b! × (a − b)!) es el coeficiente binomial ("a entre b"). El numerador cuenta las formas favorables de elegir k éxitos de K y (n − k) fracasos de (N − K). El denominador cuenta todas las formas posibles de extraer n elementos de N.

Explicación de los parámetros

• N (Tamaño de la población) — Número total de elementos en la población.
• K (Estados de éxito) — Número de elementos clasificados como "éxito" en la población.
• n (Número de extracciones) — Cuántos elementos se extraen sin reemplazo.
• k (Éxitos observados) — El número específico de éxitos para el cual desea encontrar la probabilidad.

Media, varianza y desviación estándar

Para una variable aleatoria hipergeométrica X:

• Media: μ = nK / N
• Varianza: σ² = n × (K/N) × ((N−K)/N) × ((N−n)/(N−1))
• Desviación estándar: σ = √σ²

El factor (N − n) / (N − 1) se denomina factor de corrección de población finita. Reduce la varianza en comparación con la binomial, lo que refleja que el muestreo sin reemplazo es menos variable que el muestreo con reemplazo.

Distribución hipergeométrica vs. binomial

• Hipergeométrica: Muestreo sin reemplazo de una población finita. Cada extracción cambia la probabilidad de la siguiente extracción.
• Binomial: Muestreo con reemplazo (o de una población infinita). Cada ensayo tiene la misma probabilidad.
• Cuando la población es muy grande en relación con la muestra (N ≫ n), la distribución hipergeométrica se aproxima a la binomial.

Aplicaciones comunes

• Control de calidad — ¿Cuál es la probabilidad de encontrar exactamente 3 elementos defectuosos al inspeccionar 30 unidades de un lote de 500 que contiene 20 defectuosos?
• Juegos de cartas — ¿Cuál es la probabilidad de que se le repartan exactamente 2 corazones en una mano de póquer de 5 cartas de una baraja estándar de 52 cartas?
• Análisis de lotería — ¿Cuáles son las probabilidades de acertar un cierto número de números extraídos?
• Ecología (Captura-Recaptura) — Estimación de poblaciones de vida silvestre mediante el marcado y la recaptura de animales.
• Pruebas estadísticas — La prueba exacta de Fisher utiliza la distribución hipergeométrica para probar la independencia en tablas de contingencia de 2×2.

Cómo usar esta calculadora

1. Ingrese el tamaño de la población N (total de elementos).
2. Ingrese el número de estados de éxito K (debe ser ≤ N).
3. Ingrese el número de extracciones n (debe ser ≤ N).
4. Ingrese los éxitos observados k (debe ser factible para los parámetros dados).
5. Haga clic en "Calcular Probabilidad" para ver las probabilidades exactas y acumuladas, las soluciones paso a paso, un gráfico de barras de la PMF y una visualización del modelo de urna.

Preguntas frecuentes

¿Para qué se utiliza la distribución hipergeométrica?

La distribución hipergeométrica se utiliza siempre que se realiza un muestreo de una población finita sin reemplazo y se desea conocer la probabilidad de extraer un número específico de elementos con una característica particular. Los casos de uso comunes incluyen la inspección de control de calidad, las probabilidades en juegos de cartas, las probabilidades de lotería y los estudios ecológicos de captura-recaptura.

¿En qué se diferencia la distribución hipergeométrica de la binomial?

La diferencia clave es el reemplazo. La binomial asume ensayos independientes (con reemplazo), mientras que la hipergeométrica modela extracciones dependientes (sin reemplazo). Cuando la población es mucho mayor que la muestra, las dos distribuciones convergen.

¿Cuáles son los rangos válidos para k?

Los éxitos observados k deben satisfacer: max(0, n − (N − K)) ≤ k ≤ min(n, K). El límite inferior garantiza que haya suficientes elementos de fracaso para las extracciones restantes, y el límite superior garantiza que no se superen los éxitos disponibles o el total de extracciones.

¿Puedo usar esto para la prueba exacta de Fisher?

Sí. La prueba exacta de Fisher calcula las probabilidades utilizando la distribución hipergeométrica. Si tiene una tabla de contingencia de 2×2, puede utilizar esta calculadora para calcular la probabilidad de observar los recuentos de celdas dados bajo la hipótesis nula de independencia.

¿Qué es el factor de corrección de población finita?

El factor (N − n) / (N − 1) en la fórmula de la varianza tiene en cuenta el muestreo sin reemplazo. Siempre reduce la varianza en comparación con la binomial. Cuando n es pequeño en relación con N, este factor es cercano a 1 y la corrección es insignificante.