เครื่องคำนวณคาบของลูกตุ้ม

เครื่องคำนวณคาบของลูกตุ้ม ใช้สูตรลูกตุ้มอย่างง่ายแบบคลาสสิก \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) เพื่อคำนวณหาคาบ \(T\), ความยาว \(L\), แรงโน้มถ่วงท้องถิ่น \(g\) หรือความถี่ธรรมชาติ \(f\) เครื่องมือนี้รวมค่าแรงโน้มถ่วงของดาวเคราะห์ที่เลือกได้ในคลิกเดียว, การแก้ไขมุมกว้างที่แม่นยำโดยใช้อนุกรม elliptic-integral, ลูกตุ้ม SVG แบบสดที่แกว่งตามอัตราที่คำนวณได้จริง และการแสดงผลพลังงาน/ความเร็วเมื่อคุณระบุมวลของลูกตุ้ม

วิธีใช้เครื่องคำนวณคาบของลูกตุ้มนี้

1. เลือกสิ่งที่ต้องการคำนวณ: T (คาบ), L (ความยาว), g (แรงโน้มถ่วง) หรือ f (ความถี่) แบบฟอร์มจะปรับเปลี่ยนเพื่อถามเฉพาะค่าที่จำเป็น
2. เลือกค่าดาวเคราะห์ที่กำหนดไว้ — โลก, ดวงจันทร์, ดาวอังคาร, ดาวพฤหัสบดี, ดวงอาทิตย์, ISS และอื่นๆ — หรือเปลี่ยนเป็น กำหนดเอง (Custom) แล้วพิมพ์ค่า g ของคุณเอง
3. กรอกความยาว คาบ หรือส่วนผสมใดๆ ตามที่โหมดที่เลือกต้องการ
4. ตัวเลือกเสริม: กรอกแอมพลิจูดการแกว่ง (เป็นองศา) และมวลของลูกตุ้ม เครื่องคำนวณจะรายงานคาบที่แม่นยำ (ไม่ใช่แค่ประมาณมุมเล็ก), ความสูงสูงสุด, ความเร็วที่จุดต่ำสุด และพลังงานศักย์/พลังงานจลน์สูงสุด
5. กด คำนวณ และตรวจสอบการแกว่ง SVG แบบสด, ตารางเปรียบเทียบระหว่างดาวเคราะห์, วิธีทำทีละขั้นตอน และจำนวนรอบต่อนาที / ชั่วโมง / วัน

สิ่งที่ทำให้เครื่องคำนวณนี้แตกต่าง

สูตรคาบของลูกตุ้ม

สำหรับลูกตุ้มที่มีมวลเป็นจุดแขวนบนก้านที่ไม่มีมวล แกว่งด้วยมุมเล็กในระนาบแรงโน้มถ่วงที่สม่ำเสมอ:

\[ T \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}} \qquad\Longleftrightarrow\qquad L \;=\; g\left(\dfrac{T}{2\pi}\right)^{\!2} \qquad\Longleftrightarrow\qquad g \;=\; \dfrac{4\pi^{2}L}{T^{2}} \]

ในที่นี้ \(T\) คือคาบในหน่วยวินาที, \(L\) คือความยาวจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวลของลูกตุ้ม (เมตร) และ \(g\) คือความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงท้องถิ่น (m/s²) ความถี่ธรรมชาติคือส่วนกลับของคาบ: \( f = 1/T \) และความถี่เชิงมุมคือ \( \omega = 2\pi/T = \sqrt{g/L} \).

ทำไมมวลจึงไม่มีผล

หากคุณเขียนกฎข้อที่สองของนิวตันสำหรับลูกตุ้ม (มวล \(m\)) ที่แขวนบนก้านยาว \(L\) ที่มุม \(\theta\) แรงบิดคืนตัวจากแรงโน้มถ่วงคือ \(-m g L \sin\theta\) และโมเมนต์ความเฉื่อยคือ \(m L^{2}\) สมการการเคลื่อนที่คือ:

\[ m L^{2} \ddot{\theta} \;=\; -m g L \sin\theta \quad\Rightarrow\quad \ddot{\theta} \;=\; -\dfrac{g}{L}\sin\theta. \]

มวลจะ ถูกตัดออก ลูกตุ้มสองอันที่มีความยาวเท่ากันจะแกว่งด้วยคาบที่เท่ากันทุกประการ ไม่ว่าลูกตุ้มจะหนักเพียงใด อย่างไรก็ตาม มวลของลูกตุ้มจะมีผลต่อขนาดของพลังงานจลน์และพลังงานศักย์ของการแกว่ง (และความตึงในก้าน) แบบเชิงเส้น

การประมาณมุมเล็กเทียบกับคาบที่แม่นยำ

สูตรที่คุ้นเคย \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) เป็นเพียงพจน์แรกของอนุกรมเท่านั้น คาบที่แม่นยำคือ

\[ T_{exact} \;=\; 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}\;\left(1 + \tfrac{1}{16}\theta_0^{\,2} + \tfrac{11}{3072}\theta_0^{\,4} + \tfrac{173}{737280}\theta_0^{\,6} + \dots\right) \]

โดยที่ \(\theta_0\) คือแอมพลิจูดครึ่งหนึ่งในหน่วยเรเดียน การประมาณมุมเล็กจะคำนวณคาบได้น้อยกว่าความเป็นจริงดังนี้:

ลูกตุ้มวินาที

การตั้งค่า \(T = 2\) วินาที (เพื่อให้แต่ละการแกว่งครึ่งรอบคือหนึ่งวินาที) และ \(g = 9.80665\) m/s² จะได้ความยาว "ลูกตุ้มวินาที" อันโด่งดัง:

\[ L \;=\; \dfrac{g\,T^{2}}{4\pi^{2}} \;=\; \dfrac{9.80665 \cdot 4}{4\pi^{2}} \;\approx\; 0.9936 \text{ m}. \]

นี่คือความยาวที่ออกแบบมาสำหรับนาฬิกาลูกตุ้มแบบตั้งพื้น และครั้งหนึ่งเคยถูกเสนอให้เป็นมาตรฐานความยาวเมตรสากล เนื่องจากคาบของลูกตุ้มขึ้นอยู่กับค่า \(g\) ท้องถิ่น ลูกตุ้มวินาทีที่ปรับเทียบในลอนดอนจะแกว่งต่างไปที่เส้นศูนย์สูตร — ในประวัติศาสตร์ นี่คือวิธีที่นักธรณีมาตรศาสตร์ใช้แผนที่รูปร่างของโลก

ตัวอย่างการคำนวณ: ลูกตุ้ม 1 ม. บนโลก

• ความยาว \(L = 1.00\) ม., แรงโน้มถ่วง \(g = 9.80665\) m/s²
• \( T = 2\pi\sqrt{1 / 9.80665} = 2.0064\) วินาที (ประมาณมุมเล็ก)
• ความถี่ \( f = 1/T \approx 0.4984 \) Hz; ความถี่เชิงมุม \( \omega \approx 3.132 \) rad/s
• ที่แอมพลิจูด 20° คาบที่แม่นยำจะอยู่ที่ประมาณ 2.022 วินาที — ยาวขึ้น 0.77%
• หากมวลลูกตุ้มคือ 0.5 กก. และ θ₀ = 20° ความสูงสูงสุดคือ \( h = L(1 - \cos 20°) \approx 0.060\) ม., PE สูงสุด = KE สูงสุด \(\approx 0.295\) J และความเร็วสูงสุด \( v = \sqrt{2gh} \approx 1.087\) m/s

คำถามที่พบบ่อย

สูตรสำหรับคาบของลูกตุ้มอย่างง่ายคืออะไร?
สำหรับการแกว่งมุมเล็ก \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) คาบจะขึ้นอยู่กับความยาวและแรงโน้มถ่วงท้องถิ่นเท่านั้น ไม่ขึ้นกับมวลของลูกตุ้มหรือแอมพลิจูด (ตราบใดที่แอมพลิจูดมีขนาดเล็ก)

มวลของลูกตุ้มมีผลต่อคาบหรือไม่?
ไม่ มวลจะถูกตัดออกจากสมการการเคลื่อนที่ ลูกตุ้มมวล 1 กก. และ 100 กรัมบนเชือกที่ยาวเท่ากันจะแกว่งด้วยอัตราที่เท่ากัน อย่างไรก็ตาม มวลจะมีผลต่อพลังงานจลน์, พลังงานศักย์ และความตึงของเชือก

ดาวเคราะห์มีผลต่อคาบของลูกตุ้มอย่างไร?
คาบจะแปรผันตาม \(1/\sqrt{g}\) ลูกตุ้ม 1 ม. ที่แกว่งทุกๆ 2.01 วินาทีบนโลก จะแกว่งทุกๆ 4.93 วินาทีบนดวงจันทร์ (\(g \approx 1.62\)) และทุกๆ 1.26 วินาทีบนดาวพฤหัสบดี (\(g \approx 24.79\)) ตารางเปรียบเทียบในหน้าผลลัพธ์จะแสดงข้อมูลนี้ให้เห็นชัดเจน

ทำไมคาบถึงเพิ่มขึ้นเมื่อแอมพลิจูดการแกว่งกว้างขึ้น?
สูตรมุมเล็ก \( T = 2\pi\sqrt{L/g} \) มาจากการแทนที่ \(\sin\theta\) ด้วย \(\theta\) สำหรับมุมที่กว้างขึ้น "แรง" คืนตัวจะอ่อนกว่าที่การประมาณเชิงเส้นระบุไว้ ดังนั้นลูกตุ้มจะใช้เวลามากขึ้นใกล้จุดวกกลับและคาบจะยาวขึ้น ผลลัพธ์ที่แม่นยำเกี่ยวข้องกับ complete elliptic integral of the first kind

ลูกตุ้มควรยาวเท่าใดเพื่อให้แกว่งหนึ่งครั้งต่อวินาที?
ถ้าคุณหมายถึง \(T = 1\) วินาที คุณต้องมี \(L = g (T/2\pi)^2 \approx 0.0248\) ม. หรือประมาณ 25 มม. — ซึ่งสั้นมาก! ส่วน "ลูกตุ้มวินาที" ยาว 1 ม. นั้นจริงๆ แล้วมีคาบ 2 วินาที เพราะ "วินาที" ในเชิงประวัติศาสตร์หมายถึงแต่ละเสียง ติ๊ก หรือ ต็อก แยกกัน

ลูกตุ้มสามารถวัดแรงโน้มถ่วงได้อย่างไร?
เปลี่ยนโหมดเป็น คำนวณหา g กรอกความยาวและคาบที่วัดได้อย่างแม่นยำ — เครื่องคำนวณจะคืนค่า \( g = 4\pi^2 L / T^2 \) นี่คือพื้นฐานของเครื่องวัดความเร่งโน้มถ่วงแบบลูกตุ้มคลาสสิก (และการทดลองดั้งเดิมของกาลิเลโอ)

ความแตกต่างระหว่างลูกตุ้มอย่างง่ายและลูกตุ้มทางกายภาพคืออะไร?
ลูกตุ้มอย่างง่ายคือมวลจุดในอุดมคติบนเชือกที่ไม่มีมวล ลูกตุ้มทางกายภาพ (ลูกตุ้มประกอบ) คือวัตถุเกร็งจริงใดๆ ที่แกว่งรอบจุดหมุน คาบของมันคือ \( T = 2\pi\sqrt{I/(mgd)} \) โดยที่ \(I\) คือโมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดหมุน และ \(d\) คือระยะห่างจากจุดหมุนถึงจุดศูนย์กลางมวล สูตรลูกตุ้มอย่างง่ายคือค่าขีดจำกัดเมื่อมวลทั้งหมดรวมอยู่ที่จุดเดียว