เครื่องคำนวณความโค้งของพันธบัตร

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณความโค้งของพันธบัตร

เครื่องคำนวณความโค้งของพันธบัตร วัดความอ่อนไหวลำดับที่สองของราคาพันธบัตรต่อการเปลี่ยนแปลงของอัตราผลตอบแทน (yield) ในขณะที่ modified duration บอกคุณถึงความชันของเส้นโค้งราคา-ผลตอบแทน ณ จุดเดียว ความโค้ง (convexity) จะบอกคุณว่าเส้นโค้งนั้นงอแค่ไหน — ซึ่งเป็นตัวเลขที่สำคัญอย่างยิ่งเมื่อผลตอบแทนมีการเปลี่ยนแปลงอย่างมาก เครื่องคำนวณนี้ทำในสิ่งที่เครื่องมือออนไลน์ส่วนใหญ่มองข้าม: ช่วยให้คุณเห็นการพยากรณ์ราคาแบบใช้ duration เพียงอย่างเดียว, การพยากรณ์แบบใช้ duration บวก convexity และราคาพันธบัตรที่คำนวณใหม่แบบแม่นยำควบคู่กันไป เพื่อให้เห็นขนาดและทิศทางของการแก้ไขความโค้งได้อย่างชัดเจนในแวบเดียว

อะไรที่ทำให้เครื่องคำนวณนี้แตกต่าง

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณความโค้งของพันธบัตร

1. คลิกค่าที่ตั้งไว้ล่วงหน้า (พันธบัตรรัฐบาล 2 ปี, 10 ปี, หุ้นกู้ 30 ปี หรือพันธบัตรไร้ดอกเบี้ย 5 ปี) เพื่อกรอกข้อมูลทุกช่องทันที หรือพิมพ์รายละเอียดพันธบัตรของคุณเอง
2. ป้อนมูลค่าหน้าตั๋ว (พาร์), อัตราดอกเบี้ยคูปองรายปี, อัตราผลตอบแทนจนถึงวันครบกำหนดปัจจุบัน และจำนวนปีจนถึงวันครบกำหนด
3. เลือกความถี่ในการจ่ายคูปอง โดยปกติพันธบัตรสหรัฐฯ จะเป็นรายครึ่งปี เลือกรายปีสำหรับพันธบัตรยุโรปหรือพันธบัตรไร้ดอกเบี้ย และรายไตรมาสหรือรายเดือนสำหรับตราสารหนี้ที่มีโครงสร้างบางประเภท
4. ลากตัวเลื่อน yield shock เพื่อเลือกการเปลี่ยนแปลง basis point ที่คุณสนใจ โดย 100 bp คือขนาดมาตรฐานในการทดสอบ (stress-test) เลือก 300+ bp เพื่อดูว่าความโค้งมีผลมากเพียงใด
5. กด "คำนวณ" และอ่านผลลัพธ์, แถบเปรียบเทียบสามทาง, แผนภูมิเส้นโค้ง shock, แผนภูมิกะแสเงินสด และตารางการระบุแหล่งที่มารายงวด

คณิตศาสตร์เบื้องหลัง

ทุกผลลัพธ์เริ่มต้นจากสมการการกำหนดราคาพันธบัตรด้วยมูลค่าปัจจุบันมาตรฐาน โดยที่คูปองแต่ละงวดและการชำระคืนเงินต้นงวดสุดท้ายจะถูกคิดลดด้วยอัตราผลตอบแทนรายงวด \(y = y_{annual}/m\) โดยที่ \(m\) คือจำนวนงวดต่อปี และจำนวนงวดทั้งหมด \(n = y_{maturity} \cdot m\):

\( P = \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{\text{CF}_t}{(1+y)^t} \ stone\)

Macaulay duration คือค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก PV ของช่วงเวลารับกระแสเงินสด แสดงในหน่วยปีโดยหารด้วย \(m\):

\( D_{Mac} = \dfrac{1}{P \cdot m} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^t} \)

Modified duration ปรับ Macaulay duration ตามอัตราผลตอบแทนรายงวด และให้เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงของราคาต่อการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทน 1%:

\( D_{mod} = \dfrac{D_{Mac}}{1 + y/m} \)

Convexity คือผลรวมถ่วงน้ำหนักราคาของการถ่วงน้ำหนักเวลาลำดับที่สอง ปรับกลับเป็นหน่วยปีสแควร์โดยการหารด้วย \(m^2\):

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

ตัวชี้วัดทั้งสองจะรวมกันเป็นการประมาณการแบบ Taylor อันดับสองของเปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงราคาสำหรับการเปลี่ยนแปลงของผลตอบแทน \(\Delta y\):

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

พจน์ของความโค้งจะมีค่าไม่เป็นลบเสมอเนื่องจากการยกกำลังสองของการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทน นี่คือเหตุผลที่กล่าวว่าพันธบัตรที่มี convexity สูงกว่าจะได้รับ "convexity gift" — นั่นคือราคาจะเพิ่มขึ้นมากกว่าที่ duration ทำนายเมื่อผลตอบแทนลดลง และราคาจะลดลงน้อยกว่าเมื่อผลตอบแทนเพิ่มขึ้น

การตีความผลลัพธ์ของคุณ

หลักเกณฑ์คร่าวๆ ที่ควรจำเมื่ออ่านผลลัพธ์:

• ความโค้งจะแปรผันตามกำลังสองของอายุพันธบัตรโดยประมาณ พันธบัตรอายุ 30 ปีอาจมี convexity มากกว่าพันธบัตรอายุ 5 ปีถึง 10 เท่าที่อัตราส่วน duration ใกล้เคียงกัน
• คูปองที่ต่ำกว่าหมายถึงความโค้งที่สูงกว่า พันธบัตรไร้ดอกเบี้ยมีความโค้งสูงสุดสำหรับอายุที่เท่ากัน เพราะกระแสเงินสดทั้งหมดไปอยู่ที่จุดไกลที่สุด
• อัตราผลตอบแทนที่สูงขึ้นหมายถึงความโค้งที่ต่ำลง ตัวหารคิดลด \((1+y)^{t+2}\) จะทำให้การมีส่วนร่วมของกระแสเงินสดที่อยู่ไกลๆ ลดน้อยลงเมื่อผลตอบแทนเพิ่มสูงขึ้น
• ค่าแก้ไขความโค้งจะเป็นบวกเสมอ ไม่ว่าผลตอบแทนจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง 100 bp พจน์ของ convexity จะเพิ่มเปอร์เซ็นต์บวกให้กับราคาที่ทำนายเสมอ — นั่นคือลักษณะเฉพาะของความโค้ง

คำถามที่พบบ่อย

ความโค้งของพันธบัตร (Bond Convexity) คืออะไร?

Convexity คืออนุพันธ์อันดับที่สองของราคาพันธบัตรเมื่อเทียบกับอัตราผลตอบแทน โดยปรับสัดส่วนตามราคาพันธบัตร เนื่องจากความสัมพันธ์ระหว่างราคาและผลตอบแทนเป็นเส้นโค้งไม่ใช่เส้นตรง Duration (อนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง) จึงให้เพียงการประมาณการเชิงเส้นว่าราคาจะเปลี่ยนอย่างไรเมื่อผลตอบแทนเปลี่ยน Convexity คือการแก้ไขอันดับที่สองที่จับความโค้งนั้น และจะมีค่าเป็นบวกเสมอสำหรับพันธบัตรที่ไม่มีออปชันแฝง

ทำไมความโค้งจึงสำคัญต่อนักลงทุน?

สำหรับการเปลี่ยนแปลงผลตอบแทนเพียงเล็กน้อย Duration ก็เพียงพอแล้ว แต่สำหรับการเปลี่ยนแปลงครั้งใหญ่ เช่น 100 basis points ขึ้นไป Duration เพียงอย่างเดียวจะประเมินกำไรจากราคาต่ำเกินไปเมื่อผลตอบแทนลดลง และประเมินผลขาดทุนจากราคาสูงเกินไปเมื่อผลตอบแทนเพิ่มขึ้น Convexity จะช่วยวัดความไม่สมมาตรนั้น ซึ่งบางครั้งเรียกว่า convexity gift: ระหว่างพันธบัตรสองใบที่มี duration เท่ากัน ใบที่มี convexity สูงกว่าจะให้ผลตอบแทนดีกว่าเมื่อมีความผันผวนสูง

สูตรสำหรับคำนวณความโค้งคืออะไร?

Convexity ในหน่วยปีสแควร์คือ:

\( C = \dfrac{1}{P \cdot m^2} \displaystyle\sum_{t=1}^{n} \dfrac{t(t+1) \cdot \text{CF}_t}{(1+y)^{t+2}} \)

โดยที่ \(P\) คือราคาพันธบัตร, \(m\) คือจำนวนงวดต่อปี, \(y\) คืออัตราผลตอบแทนรายงวด และ \(\text{CF}_t\) คือกระแสเงินสดในงวดที่ \(t\) ปัจจัย \(m^2\) จะเปลี่ยนหน่วยจากงวดสแควร์เป็นปีสแควร์

ความโค้งถูกนำมาใช้พยากรณ์การเปลี่ยนแปลงราคาอย่างไร?

เมื่อรวมกับ modified duration เปอร์เซ็นต์การเปลี่ยนแปลงของราคาจะประมาณเท่ากับ:

\( \dfrac{\Delta P}{P} \approx -D_{mod} \cdot \Delta y + \tfrac{1}{2} \cdot C \cdot (\Delta y)^2 \)

เนื่องจากพจน์ของ convexity ถูกยกกำลังสอง มันจึงเป็นการเพิ่มค่าแก้ไขที่เป็นบวกเสมอ ไม่ว่าผลตอบแทนจะเพิ่มขึ้นหรือลดลง ซึ่งนี่คือที่มาของ convexity gift

พันธบัตรแบบไหนมีความโค้งสูงสุด?

พันธบัตรระยะยาวที่มีคูปองต่ำจะมีค่า convexity สูงที่สุด กระแสเงินสดในอนาคตที่ไกลออกไปจะมีน้ำหนักมากขึ้นในสูตรเนื่องจากปัจจัย \(t(t+1)\) โดยปกติแล้วพันธบัตรไร้ดอกเบี้ยจะมี convexity สูงสุดเมื่อเทียบกับพันธบัตรที่มีอายุเท่ากัน เนื่องจากกระแสเงินสดทั้งหมดไปกระจุกตัวอยู่ที่ตอนท้าย

ค่าความโค้งที่สูงกว่าดีกว่าเสมอใช่หรือไม่?

หากปัจจัยอื่นเท่ากัน ใช่ — ความโค้งที่สูงกว่าหมายถึงผลการดำเนินงานที่ดีกว่าภายใต้ความผันผวนของผลตอบแทน ในทางปฏิบัติ พันธบัตรที่มี convexity สูงมักจะมีราคาแพงกว่า (ผลตอบแทนต่ำกว่า) เพราะนักลงทุนยอมจ่ายส่วนต่างเพื่อแลกกับความโค้งนี้ การเลือกจึงขึ้นอยู่กับมุมมองของคุณเกี่ยวกับความผันผวนเทียบกับ carry

ความโค้งแตกต่างจาก duration อย่างไร?

Duration เป็นการวัดอันดับที่หนึ่ง — คือความชันของเส้นโค้งราคา-ผลตอบแทนที่อัตราผลตอบแทนปัจจุบัน โดยสมมติว่าเส้นโค้งนั้นเป็นเส้นตรงในบริเวณนั้น ส่วนความโค้ง (Convexity) เป็นการวัดอันดับที่สอง — คือความโค้งของเส้นนั้น Duration เพียงอย่างเดียวจะแม่นยำสำหรับการเปลี่ยนแปลงของผลตอบแทนที่เล็กน้อยมากเท่านั้น Convexity จะมีความสำคัญมากขึ้นเมื่อผลตอบแทนเปลี่ยนแปลงมากขึ้น เพราะเส้นจริงจะโค้งออกจากเส้นสัมผัส

ความโค้งมีค่าเป็นลบได้หรือไม่?

สำหรับพันธบัตรทั่วไป (ไม่มีออปชันแฝง) ความโค้งจะเป็นบวกเสมอ อย่างไรก็ตาม พันธบัตรที่มีออปชันแฝง — โดยเฉพาะพันธบัตรที่ผู้ออกสามารถเรียกคืนได้ (callable bonds) และหลักทรัพย์ที่มีจำนองค้ำประกัน (MBS) — อาจแสดงความโค้งเป็นลบในบางช่วงของผลตอบแทน เนื่องจากสิทธิในการเรียกคืนของผู้ออกจะเป็นตัวจำกัดการเพิ่มขึ้นของราคา เครื่องคำนวณนี้ใช้สำหรับกรณีพันธบัตรที่ไม่มีออปชันแฝง

ความแตกต่างระหว่าง Macaulay duration และ modified duration คืออะไร?

Macaulay duration คือเวลาเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักด้วยมูลค่าปัจจุบันที่ผู้ถือพันธบัตรจะได้รับกระแสเงินสด มีหน่วยเป็นปี ส่วน Modified duration จะปรับค่า Macaulay duration โดยหารด้วย \(1 + y/m\) ซึ่งจะตอบคำถามโดยตรงว่า "ราคาพันธบัตรจะขยับกี่เปอร์เซ็นต์หากผลตอบแทนเปลี่ยนไป 1%" ทั้งสองค่าจะเกือบเท่ากันเมื่อผลตอบแทนมีค่าน้อย และจะเริ่มต่างกันเล็กน้อยเมื่อผลตอบแทนสูงขึ้น

เครื่องมืออื่นๆ ที่เกี่ยวข้อง:

เครื่องคำนวณหุ้น:

• เครื่องคำนวณผลตอบแทนเทียบเท่าพันธบัตร
• เครื่องคำนวณผลตอบแทนพันธบัตร
• เครื่องคำนวณระยะเวลาครบกำหนดไถ่ถอนพันธบัตร
• เครื่องคิดเลขคูปองศูนย์
• เครื่องคำนวณความโค้งของพันธบัตร ใหม่