鞋帶公式計算機

鞋帶公式計算機

歡迎使用鞋帶公式計算機 — 這是一個快速且視覺化的工具，用於從頂點座標計算任何多邊形的精確面積。無論您是測量地塊的測量員、應對座標幾何的學生，還是處理 GIS 多邊形的開發者，此計算機都能提供完整的逐步分解結果和互動式多邊形預覽。

什麼是鞋帶公式？

鞋帶公式（也稱為高斯面積公式或測量員公式）是一種演算法，當已知簡單多邊形（不自相交）頂點的笛卡兒座標時，可用於計算其面積。它適用於三角形、四邊形、五邊形和任何 n 邊形。

其中下標索引採用模 n 運算，因此頂點 n 會繞回頂點 0。

為什麼它被稱為鞋帶公式？

這個名字源於視覺模式：如果您將 x 座標寫在一列，y 座標寫在另一列，然後對角線相乘（向前和向後），乘法箭頭的交叉看起來就像繫鞋帶一樣。

如何使用此計算機

1. 輸入頂點： 按多邊形邊界順序輸入或貼上您的 (x, y) 座標。使用範例按鈕立即嘗試預設形狀。
2. 選擇精度： 選擇輸出結果的小數點位數。
3. 計算： 點擊「計算面積」以計算面積、周長、形心和環繞順序。
4. 探索步驟： 逐步計算表顯示了每個交叉乘積項，以便您驗證計算的每個部分。
5. 查看多邊形： 互動式畫布會渲染您的多邊形，並帶有頂點標籤和形心標記。

理解結果

• 面積： 平面座標單位中的封閉面積。
• 周長： 總邊界長度（所有邊長的總和）。
• 形心： 幾何中心（所有頂點座標的平均值）。
• 環繞順序： 頂點是按順時針還是逆時針列出的。這是由取絕對值之前的帶符號面積正負號決定的。

鞋帶公式的應用

土地測量

測量員使用 GPS 或經緯儀記錄邊界標記的座標對。鞋帶公式將這些座標轉換為精確的地塊面積 — 這是地籍測量和房地產中的核心計算。

GIS 和製圖

地理資訊系統 (GIS) 依靠鞋帶公式來計算國家、湖泊、森林和城市區域的多邊形面積，通常一次處理數百萬個多邊形。

電腦圖形學

遊戲引擎和渲染流水線使用帶符號面積來檢測頂點環繞順序，這決定了多邊形的哪一面面向相機（正面 vs 背面剔除）。

幾何作業

該公式解決了原本需要手動將多邊形拆分為三角形的座標幾何問題。它可以在一次計算中處理任何形狀。

輸入格式指南

您可以用多種方式輸入座標：

• 帶括號的對： (0,0), (4,0), (2,3)
• 每行一個： 每行為 x y 或 x,y
• 混合分隔符： 座標對之間接受逗號、空格或分號

重要限制

• 多邊形必須是簡單的（無自相交）。對於自相交的形狀，公式會返回不正確的淨面積。
• 定義一個多邊形至少需要 3 個頂點。
• 頂點應按一致的順序列出（全順時針或全逆時針）。混合方向會導致錯誤的結果。
• 只要所有座標共用相同的單位，該公式就適用於任何單位 — 公尺、英尺、十進制度數等。

常見問題

什麼是鞋帶公式？

鞋帶公式是一種僅使用頂點的笛卡兒座標來計算任何簡單多邊形面積的演算法。公式為 A = (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)|，對所有按順序排列的連續頂點對求和。

為什麼它被稱為鞋帶公式？

這個名稱源於交叉相乘座標的視覺模式：當寫成列時，乘法箭頭像鞋帶一樣交叉。它也被稱為高斯面積公式或測量員公式。

鞋帶公式適用於任何多邊形嗎？

它適用於頂點按順序列出的任何簡單（非自相交）多邊形。對於自相交的多邊形（例如追蹤為單一路徑的大衛之星形狀），它不會給出有意義的結果。

環繞順序告訴我什麼？

取絕對值之前的帶符號面積的正負號表示環繞順序。正號 = 逆時針 (CCW)；負號 = 順時針 (CW)。在電腦圖形學中，CW 與 CCW 決定了正面/背面的朝向。在 GIS 中，CCW 是外部多邊形環的標準。

如何輸入來自 GPS 或地圖的座標？

對於十進制度數（緯度、經度）的真實世界座標，請將緯度用作 y，經度用作 x。請注意，以度平方為單位的面積需要使用投影因子轉換為實際面積，該因子隨緯度而變化。對於投影座標（UTM、State Plane 等），該公式直接給出以投影單位平方為單位的面積。

額外資源

• 鞋帶公式 - 維基百科
• 多邊形 - 維基百科