สูตรเชือกรองเท้า (Shoelace Formula) คืออะไร?

สูตรเชือกรองเท้า (เรียกอีกอย่างว่าสูตรพื้นที่ของ Gauss หรือสูตรของนักสำรวจ) ใช้คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวใดๆ เมื่อทราบพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด สูตรคือ A = (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| โดยที่ผลรวมจะครอบคลุมจุดยอดทุกคู่และจุดยอดสุดท้ายจะวนกลับมายังจุดแรก

เครื่องหมายของผลลัพธ์จากสูตรเชือกรองเท้าบอกอะไรเรา?

ก่อนที่จะหาค่าสัมบูรณ์ ผลลัพธ์ที่มีเครื่องหมายจะเผยให้เห็นลำดับการเรียงตัวของจุดยอด พื้นที่ที่เป็นบวกบ่งบอกถึงการเรียงจุดยอดแบบทวนเข็มนาฬิกา (CCW); พื้นที่ที่เป็นลบบ่งบอกถึงการเรียงแบบตามเข็มนาฬิกา (CW) ค่าสัมบูรณ์จะให้พื้นที่ที่แท้จริงไม่ว่าจะในกรณีใดก็ตาม

ฉันจะป้อนพิกัดสำหรับเครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้าได้อย่างไร?

ป้อนจุดยอดเป็นคู่ (x, y) คั่นด้วยจุลภาคหรือการขึ้นบรรทัดใหม่ ตัวอย่างเช่น: (0,0), (4,0), (2,3) หรือหนึ่งคู่ต่อหนึ่งบรรทัด คุณยังสามารถใช้คู่ x y เปล่าๆ โดยไม่มีวงเล็บได้ด้วย จุดยอดต้องเรียงตามลำดับรอบขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม

เครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้า

Q: ทำไมถึงเรียกว่าสูตรเชือกรองเท้า?

ชื่อนี้มาจากรูปแบบการคูณไขว้พิกัดที่มองเห็นได้: เมื่อคุณเขียนค่า x และ y ในสองคอลัมน์แล้วลากเส้นเชื่อมต่อแต่ละคู่เพื่อทำการคูณ รูปแบบการไขว้กันที่เกิดขึ้นจะคล้ายกับลักษณะการผูกเชือกรองเท้า

Q: สูตรเชือกรองเท้าใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมทุกชนิดหรือไม่?

สูตรเชือกรองเท้าทำงานได้อย่างถูกต้องสำหรับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวใดๆ (รูปที่ไม่มีเส้นตัดตัวเอง) สูตรนี้จะไม่ให้พื้นที่เดียวที่ถูกต้องสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดตัวเอง (รูปซับซ้อน) จุดยอดจะต้องเรียงตามลำดับ (ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา) ไปตามเส้นรอบรูป

คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ จากพิกัดจุดยอด (x, y) โดยใช้อัลกอริทึมเชือกรองเท้า (Gauss) รองรับรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และรูปหลายเหลี่ยมที่ซับซ้อน เหมาะสำหรับการสำรวจ, GIS, การวัดที่ดิน และโจทย์เรขาคณิต

เครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้า

ลองใช้: △ สามเหลี่ยม ■ สี่เหลี่ยมจัตุรัส ⬠ ห้าเหลี่ยม 🌎 แปลงที่ดิน ✱ รูปทรงอิสระ

พิกัดจุดยอด (x, y) — เรียงตามลำดับรอบรูปหลายเหลี่ยม

ความแม่นยำทศนิยม

ⓘ จุดยอดต้องเรียงตามลำดับรอบขอบเขต (ตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา) ต้องมีอย่างน้อย 3 จุดยอด

Embed เครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้า Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้า

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณสูตรเชือกรองเท้า — เครื่องมือภาพที่รวดเร็วสำหรับการคำนวณพื้นที่ที่แน่นอนของรูปหลายเหลี่ยมใดๆ จากพิกัดจุดยอด ไม่ว่าคุณจะเป็นนักสำรวจที่วัดที่ดิน, นักเรียนที่กำลังเรียนเรขาคณิตวิเคราะห์ หรือนักพัฒนาที่ทำงานกับรูปหลายเหลี่ยม GIS เครื่องคำนวณนี้จะแสดงผลลัพธ์พร้อมการแยกขั้นตอนอย่างละเอียดและการแสดงตัวอย่างรูปหลายเหลี่ยมแบบโต้ตอบ

สูตรเชือกรองเท้าคืออะไร?

สูตรเชือกรองเท้า (หรือที่รู้จักกันในชื่อ สูตรพื้นที่ของ Gauss หรือ สูตรของนักสำรวจ) เป็นอัลกอริทึมสำหรับคำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวใดๆ (ที่ไม่มีการตัดกันของเส้น) เมื่อทราบพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด สูตรนี้ใช้ได้กับรูปสามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, ห้าเหลี่ยม และรูป n-เหลี่ยมใดๆ

$$A = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=0}^{n-1} (x_i y_{i+1} - x_{i+1} y_i) \right|$$

โดยที่ดัชนีตัวห้อยจะใช้ค่ามอดูโล n เพื่อให้จุดยอดที่ n วนกลับไปยังจุดยอดที่ 0

ทำไมถึงเรียกว่าสูตรเชือกรองเท้า?

ชื่อนี้มาจากรูปแบบที่มองเห็นได้: หากคุณเขียนพิกัด x ในคอลัมน์หนึ่งและพิกัด y ในอีกคอลัมน์หนึ่ง จากนั้นคูณทแยงมุม (ไปข้างหน้าและย้อนกลับ) ลูกศรการคูณที่ไขว้กันจะดูเหมือนกับการผูกเชือกรองเท้าพอดี

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อนจุดยอด: พิมพ์หรือวางพิกัด (x, y) ตามลำดับรอบขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยม ใช้ปุ่มตัวอย่างเพื่อลองรูปทรงที่กำหนดไว้ล่วงหน้าได้ทันที
เลือกความแม่นยำ: เลือกจำนวนตำแหน่งทศนิยมสำหรับผลลัพธ์
คำนวณ: คลิก "คำนวณพื้นที่" เพื่อคำนวณพื้นที่, เส้นรอบรูป, จุดศูนย์กลางมวล และลำดับการเรียงตัว
สำรวจขั้นตอน: ตารางแสดงขั้นตอนจะแสดงพจน์ผลคูณไขว้ทุกพจน์เพื่อให้คุณสามารถตรวจสอบการคำนวณแต่ละส่วนได้
ดูรูปหลายเหลี่ยม: แคนวาสแบบโต้ตอบจะแสดงรูปหลายเหลี่ยมของคุณพร้อมป้ายกำกับจุดยอดและจุดศูนย์กลางมวล

ทำความเข้าใจกับผลลัพธ์

พื้นที่: พื้นที่ที่ล้อมรอบในหน่วยพิกัดตาราง
เส้นรอบรูป: ความยาวขอบเขตทั้งหมด (ผลรวมของความยาวด้านทั้งหมด)
จุดศูนย์กลางมวล: จุดศูนย์กลางทางเรขาคณิต (ค่าเฉลี่ยของพิกัดจุดยอดทั้งหมด)
ลำดับการเรียงตัว: ดูว่าจุดยอดถูกเรียงลำดับแบบตามเข็มนาฬิกาหรือทวนเข็มนาฬิกา ซึ่งพิจารณาจากเครื่องหมายของพื้นที่ที่มีเครื่องหมายก่อนนำไปหาค่าสัมบูรณ์

การประยุกต์ใช้งานของสูตรเชือกรองเท้า

การสำรวจที่ดิน

นักสำรวจใช้ GPS หรือกล้องวัดมุมเพื่อบันทึกคู่พิกัดสำหรับเครื่องหมายขอบเขต สูตรเชือกรองเท้าจะเปลี่ยนพิกัดเหล่านี้ให้เป็นพื้นที่ที่ดินที่แน่นอน — ซึ่งเป็นการคำนวณหลักในการสำรวจรังวัดที่ดินและอสังหาริมทรัพย์

GIS และการทำแผนที่

ระบบสารสนเทศภูมิศาสตร์ (GIS) พึ่งพาสูตรเชือกรองเท้าเพื่อคำนวณพื้นที่รูปหลายเหลี่ยมของประเทศ, ทะเลสาบ, ป่าไม้ และเขตเมือง ซึ่งมักจะคำนวณกับรูปหลายเหลี่ยมหลายล้านรูปพร้อมกัน

คอมพิวเตอร์กราฟิก

เอนจินเกมและกระบวนการเรนเดอร์ใช้พื้นที่ที่มีเครื่องหมายเพื่อตรวจจับลำดับการเรียงตัวของจุดยอด ซึ่งกำหนดว่าหน้าใดของรูปหลายเหลี่ยมจะหันเข้าหากล้อง (front-face vs back-face culling)

การบ้านเรขาคณิต

สูตรนี้ช่วยแก้ปัญหาเรขาคณิตวิเคราะห์ที่ปกติจะต้องแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปสามเหลี่ยมด้วยตนเอง โดยสามารถจัดการรูปทรงใดๆ ได้ในการคำนวณเพียงครั้งเดียว

คำแนะนำรูปแบบการป้อนข้อมูล

คุณสามารถป้อนพิกัดได้หลายวิธี:

คู่พิกัดในวงเล็บ: (0,0), (4,0), (2,3)
หนึ่งคู่ต่อหนึ่งบรรทัด: แต่ละบรรทัดเป็น x y หรือ x,y
ตัวคั่นผสม: ยอมรับจุลภาค, ช่องว่าง หรืออัฒภาคระหว่างคู่พิกัดทั้งหมด

ข้อจำกัดที่สำคัญ

รูปหลายเหลี่ยมต้องเป็นแบบ เชิงเดี่ยว (ไม่มีเส้นตัดตัวเอง) สำหรับรูปทรงที่ตัดตัวเอง สูตรจะให้ค่าพื้นที่สุทธิที่ไม่ถูกต้อง
ต้องมีอย่างน้อย 3 จุดยอด เพื่อกำหนดรูปหลายเหลี่ยม
จุดยอดควรเรียงลำดับอย่างสม่ำเสมอ (ตามเข็มนาฬิกาทั้งหมดหรือทวนเข็มนาฬิกาทั้งหมด) การผสมทิศทางจะให้ผลลัพธ์ที่ผิด
สูตรทำงานได้ในทุกหน่วย — เมตร, ฟุต, องศาทศนิยม — ตราบใดที่พิกัดทั้งหมดใช้หน่วยเดียวกัน

คำถามที่พบบ่อย

สูตรเชือกรองเท้าคืออะไร?

สูตรเชือกรองเท้าเป็นอัลกอริทึมที่คำนวณพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยวใดๆ โดยใช้เพียงพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดยอด สูตรคือ A = (1/2)|Σ(xᵢyᵢ₊₁ − xᵢ₊₁yᵢ)| โดยรวมพจน์ของจุดยอดที่อยู่ติดกันตามลำดับ

ทำไมถึงเรียกว่าสูตรเชือกรองเท้า?

ชื่อนี้มาจากรูปแบบภาพของการคูณไขว้พิกัด: เมื่อเขียนเป็นคอลัมน์ ลูกศรการคูณจะไขว้กันเหมือนเชือกรองเท้า และยังเป็นที่รู้จักในชื่อสูตรพื้นที่ของ Gauss หรือสูตรของนักสำรวจ

สูตรเชือกรองเท้าใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมทุกชนิดหรือไม่?

ใช้ได้กับรูปหลายเหลี่ยมเชิงเดี่ยว (ไม่ตัดตัวเอง) ที่มีการเรียงจุดยอดตามลำดับ โดยจะไม่ให้ผลลัพธ์ที่มีความหมายสำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่ตัดตัวเอง เช่น รูปดาวหกแฉกที่ลากเป็นเส้นทางเดียว

ลำดับการเรียงตัวบอกอะไรฉัน?

เครื่องหมายของพื้นที่ที่มีเครื่องหมายก่อนหาค่าสัมบูรณ์จะบอกลำดับการเรียงตัว ค่าบวก = ทวนเข็มนาฬิกา (CCW); ค่าลบ = ตามเข็มนาฬิกา (CW) ในคอมพิวเตอร์กราฟิก CW เทียบกับ CCW จะกำหนดการหันหน้าหน้า/หลัง ใน GIS CCW เป็นมาตรฐานสำหรับวงแหวนภายนอกของรูปหลายเหลี่ยม

ฉันจะป้อนพิกัดจาก GPS หรือแผนที่ได้อย่างไร?

สำหรับพิกัดในโลกจริงที่เป็นองศาทศนิยม (ละติจูด, ลองจิจูด) ให้ใช้ละติจูดเป็น y และลองจิจูดเป็น x โปรดทราบว่าพื้นที่ในหน่วยองศากำลังสองต้องถูกแปลงเป็นพื้นที่จริงโดยใช้ปัจจัยการฉายภาพซึ่งจะแตกต่างกันไปตามละติจูด สำหรับพิกัดที่ถูกฉายแล้ว (UTM, State Plane ฯลฯ) สูตรจะให้พื้นที่ในหน่วยกำลังสองของหน่วยฉายภาพโดยตรง