內切圓計算機

內切圓計算機

內切圓計算機可求出任何三角形的內切圓。內切圓（Incircle）是指完全位於三角形內部並與三條邊都相切的最大圓。輸入三個邊長或三個頂點座標，即可立即計算內切圓半徑、內心位置、切點、切線長度、接觸三角形、旁切圓半徑等，並提供互動式 SVG 圖表和逐步計算公式。

內切圓的關鍵概念

內切圓計算公式

對於一個邊長為 a, b, c 且半周長為 s = (a + b + c) / 2 的三角形：

內切圓 vs. 外接圓

內切圓和外接圓是與三角形相關的兩個最基本的圓，但它們具有不同的性質：

• 內切圓： 位於三角形內部，與三條邊相切。透過角平分線求得。內心始終位於三角形內部。
• 外接圓： 通過三個頂點，通常較大。透過垂直平分線求得。對於鈍角三角形，外心可能位於外部。
• 歐拉不等式： 對於任何三角形，\(R \geq 2r\)，僅當為等邊三角形時等號成立。

切線長度與接觸三角形

當內切圓與 BC 邊切於點 D，與 CA 邊切於點 E，與 AB 邊切於點 F 時，從每個頂點出發的切線長度相等：從 A 出發的距離 AF = AE = s − a；從 B 出發為 BF = BD = s − b；從 C 出發為 CD = CE = s − c。連接這些切點形成的三角形 DEF 稱為接觸三角形（或內觸三角形）。接觸三角形具有特殊的性質：其角度與原始三角形的角度關係公式為 ∠D = 90° − A/2。

旁切圓：三個伴隨圓

每個三角形都有三個旁切圓 —— 與三角形的一條邊以及另外兩條邊的延長線相切的圓。頂點 A 對面的旁切圓半徑為 r_A = K/(s−a)，B 對面為 r_B = K/(s−b)，C 對面為 r_C = K/(s−c)。一個優雅的等式將這四個圓聯繫在一起：1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C。旁切圓在高級三角形幾何中非常重要，並出現在納格爾點（Nagel point）的構造中。

如何求內切圓

1. 選擇您的輸入方法： 如果您知道邊長 a, b, c，請選擇「三邊長」；如果您有每個頂點的座標，請選擇「三頂點座標」。
2. 輸入數值： 輸入三個邊長或頂點 A, B, C 的 (x, y) 座標。可以點擊快速範例來自動填充樣本數值。
3. 點擊計算： 按下「計算內切圓」按鈕。
4. 查看結果： 查看內切圓半徑 r、內心座標、內切圓面積與周長、切點、切線長度、旁切圓半徑以及 R/r 比值。
5. 探索圖表： 切換內切圓、角平分線、切點、接觸三角形和標籤的疊加層，以視覺化幾何形狀。

實際應用

內切圓有許多實際用途。在製造業中，內切圓半徑決定了可以放入三角形開口中的最大圓形組件（螺栓、鑽頭、管材）。在建築學中，內切圓有助於在三角形平面圖中設計最大的圓形特徵。在計算幾何中，內切圓和旁切圓被用於有限元素分析的網格細化演算法。內切圓半徑還可以用作衡量三角形「肥胖度」的一種標準 —— 相對於外接圓半徑，細長三角形的內切圓半徑較小，這對於模擬中的數值穩定性非常重要。

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