内切圆计算器

计算三角形的内切圆（incircle）。输入三条边或三个顶点坐标，即可求出内切圆半径、内心、切点、切线长度、接触三角形，并查看带有逐步公式的交互式图表。

内切圆计算器

内切圆计算器可以求出任何三角形的内切圆。内切圆是指完全位于三角形内部、并与三条边都相切的最大圆。输入三条边长或三个顶点坐标，即可立即计算内径、内心位置、切点、切线长度、接触三角形、旁切圆半径等信息，并配有交互式 SVG 图表和逐步计算公式。

内切圆的关键概念

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内切圆

三角形内最大的圆，与三边均相切

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内心

三条角平分线的交点 —— 始终在三角形内部

◇

切点

内切圆接触三角形每条边的三个点

△

接触三角形

连接三个切点形成的三角形（内触三角形）

内切圆计算公式

对于边长为 a, b, c 且半周长为 s = (a + b + c) / 2 的三角形：

性质	公式	描述
三角形面积 (海伦公式)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	利用半周长根据三边长计算面积
内径	\(r = \frac{K}{s}\)	内切圆的半径
内切圆面积	\(A = \pi r^2\)	内切圆所围成的面积
内切圆周长	\(C = 2\pi r\)	内切圆的周长
内心坐标	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	根据对边长度对顶点进行加权平均
自 A 出发的切线长度	\(t_A = s - a\)	从顶点 A 到最近切点的距离
旁切圆半径	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	相对于顶点 A 的旁切圆半径
欧拉距离	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	外心与内心之间的距离

内切圆 vs. 外接圆

内切圆和外接圆是与三角形相关的两个最基本的圆，但它们具有截然不同的性质：

内切圆： 位于三角形内部，与三条边相切。通过角平分线确定。内心始终位于三角形内部。
外接圆： 经过三角形的三个顶点，通常比内切圆大。通过垂直平分线确定。对于钝角三角形，外心可能位于外部。
欧拉不等式： 对于任何三角形，\(R \geq 2r\)，仅在等边三角形时取等号。

切线长度与接触三角形

当内切圆与边 BC 切于点 D，与边 CA 切于点 E，与边 AB 切于点 F 时，从每个顶点出发的切线长度相等：从 A 出发，距离 AF = AE = s − a；从 B 出发，BF = BD = s − b；从 C 出发，CD = CE = s − c。通过连接这些切点而形成的三角形 DEF 称为接触三角形（或内触三角形）。接触三角形具有特殊性质：它的角与原三角形的角的关系公式为 ∠D = 90° − A/2。

旁切圆：三个伴生圆

每个三角形都有三个旁切圆 —— 这些圆与三角形的一条边相切，并与另外两条边的延长线相切。相对于顶点 A 的旁切圆半径为 r_A = K/(s−a)，相对于 B 的为 r_B = K/(s−b)，相对于 C 的为 r_C = K/(s−c)。一个优雅的恒等式将这四个圆联系在一起：1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C。旁切圆在高级三角形几何中非常重要，并出现在纳格尔点 (Nagel point) 的构造中。

如何求内切圆

选择输入方法： 如果已知边长 a, b, c，请选择“三条边”；如果已知每个顶点的坐标，请选择“三个顶点”。
输入数值： 输入三条边长或顶点 A、B 和 C 的 (x, y) 坐标。点击快捷示例可自动填充样本数值。
点击计算： 按下“计算内切圆”按钮。
查看结果： 查看内径 r、内心坐标、内切圆面积和周长、切点、切线长度、旁切圆半径以及 R/r 比率。
探索图表： 切换内切圆、角平分线、切点、接触三角形和标签的叠加层，以可视化几何结构。

实际应用

内切圆有许多实际用途。在制造业中，内径决定了能放入三角形开口内的最大圆形部件（螺栓、钻头、管道）。在建筑设计中，内切圆有助于在三角形平面图内设计最大的圆形设施。在计算几何中，内切圆和旁切圆被用于有限元分析的网格加密算法。内切圆半径还可作为三角形“肥胖度”的衡量标准 —— 相对于外接圆半径，细长三角形的内径较小，这在数值模拟的稳定性中至关重要。

常见问题解答 (FAQ)

什么是内切圆 (incircle)？

内切圆是完全位于三角形内部并与三条边都相切的最大圆。它的中心称为内心（三条角平分线的交点），其半径称为内径。每个非退化三角形都有且只有一个内切圆。

如何计算三角形的内径？

内径 r 的计算公式为 r = K / s，其中 K 是三角形面积，s 是半周长 s = (a+b+c)/2。首先使用海伦公式计算面积：K = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，然后将面积除以半周长。

三角形的内心在哪里？

内心是三角形所有三条角平分线相交的点。与外心不同，无论三角形是锐角、直角还是钝角，内心始终位于三角形内部。其坐标是顶点的加权平均值：I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c)。

内切圆的切线长度是多少？

切线长度是从每个顶点到内切圆与边相切的最近两个切点的距离。从顶点 A 出发，切线长度为 s − a；从 B 出发为 s − b；从 C 出发为 s − c。这些切线长度满足从同一个外部点到圆的两条切线段长度相等的性质。

什么是接触三角形？

接触三角形（也称为内触三角形）是通过连接内切圆与三角形边接触的三个点而形成的。它的顶点位于原三角形边的切点上。接触三角形具有有趣的性质 —— 例如，它的每个角都等于 90° 减去原三角形对应角的一半。

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由 MiniWebtool 团队制作。更新日期： 2026-04-03

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