내접원 계산기

세 변 또는 꼭짓점 좌표를 넣으면 삼각형 내접원 반지름과 내심을 계산합니다. 접점, 접선 길이, 그림을 단계별 공식과 함께 보여 줍니다.

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내접원 계산기 정보

내접원 계산기는 모든 삼각형의 내접원을 찾아줍니다. 내접원(incircle)은 삼각형 내부에 완전히 들어맞으며 세 변 모두에 접하는 가장 큰 원을 말합니다. 세 변의 길이 또는 세 꼭짓점의 좌표를 입력하면 대화형 SVG 다이어그램 및 단계별 공식과 함께 내반지름, 내심 위치, 접점, 접선 길이, 접점 삼각형, 방접원 반지름 등을 즉시 계산할 수 있습니다.

내접원의 주요 개념

◉

내접원

삼각형 내부의 가장 큰 원으로, 3개의 변에 모두 접함

⊕

내심

세 각의 이등분선의 교점 — 항상 삼각형 내부에 위치

◇

접점

내접원이 삼각형의 각 변과 만나는 세 점

△

접점 삼각형

세 접점을 연결하여 만든 삼각형 (intouch triangle)

내접원 관련 공식

변의 길이가 a, b, c이고 반둘레가 s = (a + b + c) / 2인 삼각형의 경우:

속성	공식	설명
삼각형 넓이 (헤론의 공식)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	반둘레를 이용한 세 변으로부터의 넓이
내반지름	\(r = \frac{K}{s}\)	내접원의 반지름
내접원 넓이	\(A = \pi r^2\)	내접원이 차지하는 넓이
내접원 둘레	\(C = 2\pi r\)	내접원의 둘레 길이
내심 좌표	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	대변의 길이에 따른 꼭짓점의 가중 평균
꼭짓점 A에서의 접선 길이	\(t_A = s - a\)	꼭짓점 A에서 가장 가까운 접점까지의 거리
방접원 반지름	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	꼭짓점 A 맞은편 방접원의 반지름
오일러 거리	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	외심과 내심 사이의 거리

내접원 vs. 외접원

내접원(incircle)과 외접원(circumcircle)은 삼각형과 관련된 가장 기본적인 두 개의 원이지만, 서로 다른 특징을 가지고 있습니다.

내접원: 삼각형 내부에 위치하며 세 변에 접합니다. 각의 이등분선을 통해 찾습니다. 내심은 항상 삼각형 내부에 있습니다.
외접원: 세 꼭짓점을 모두 지납니다. 수직 이등분선을 통해 찾습니다. 외심은 둔각 삼각형의 경우 삼각형 외부에도 위치할 수 있습니다.
오일러 부등식: 모든 삼각형에 대해 \(R \geq 2r\)이며, 정삼각형일 때만 등호가 성립합니다.

접선 길이와 접점 삼각형

내접원이 변 BC와 점 D에서, 변 CA와 점 E에서, 변 AB와 점 F에서 만날 때, 각 꼭짓점에서 출발하는 접선 길이는 같습니다. 즉, A에서 거리 AF = AE = s - a이고, B에서 BF = BD = s - b이며, C에서 CD = CE = s - c입니다. 이 접점들을 연결하여 만든 삼각형 DEF를 접점 삼각형(또는 intouch triangle)이라고 합니다. 접점 삼각형은 특별한 성질을 가지고 있습니다. 예를 들어 그 각도는 원래 삼각형의 각도와 ∠D = 90° - A/2와 같은 관계를 가집니다.

방접원: 세 개의 동반 원

모든 삼각형에는 세 개의 방접원(excircle)이 있습니다. 이는 삼각형의 한 변에 접하고 다른 두 변의 연장선에 접하는 원입니다. 꼭짓점 A 맞은편의 방접원 반지름은 r_A = K/(s-a), B 맞은편은 r_B = K/(s-b), C 맞은편은 r_C = K/(s-c)입니다. 이 네 원 사이에는 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C라는 우아한 항등식이 성립합니다. 방접원은 고급 삼각형 기하학에서 필수적이며 나겔 점(Nagel point) 구성 등에 등장합니다.

내접원을 구하는 방법

입력 방식 선택: 세 변의 길이 a, b, c를 아는 경우 "세 변"을 선택하고, 각 꼭짓점의 좌표를 아는 경우 "세 꼭짓점"을 선택합니다.
값 입력: 세 변의 길이나 꼭짓점 A, B, C의 (x, y) 좌표를 입력합니다. 빠른 예시 버튼을 클릭하여 샘플 값을 자동으로 채울 수 있습니다.
계산 클릭: "내접원 계산하기" 버튼을 누릅니다.
결과 확인: 내반지름 r, 내심 좌표, 내접원 넓이 및 둘레, 접점, 접선 길이, 방접원 반지름 및 R/r 비율을 확인합니다.
다이어그램 탐색: 내접원, 각 이등분선, 접점, 접점 삼각형, 라벨 등의 오버레이를 토글하여 기하학적 구조를 시각화합니다.

실제 응용 사례

내접원은 실생활에서 다양하게 응용됩니다. 제조업에서 내반지름은 삼각형 개구부 내부에 들어갈 수 있는 가장 큰 원형 부품(볼트, 드릴 비트, 파이프)을 결정합니다. 건축에서 내접원은 삼각형 평면도 내에서 최대 크기의 원형 설계를 돕습니다. 컴퓨터 기하학에서는 유한 요소 해석을 위한 메시 세분화 알고리즘에 내접원과 방접원이 사용됩니다. 또한 내반지름은 삼각형의 "뚱뚱함"을 측정하는 척도로 사용되기도 합니다. 외반지름에 비해 내반지름이 작은 얇은 삼각형은 시뮬레이션의 수치적 안정성에 영향을 미치기 때문에 매우 중요하게 다뤄집니다.

FAQ

내접원(incircle)이란 무엇인가요?

내접원 또는 인서클(incircle)은 삼각형 내부에 완전히 들어맞으며 세 변 모두에 접하는 가장 큰 원입니다. 중심은 세 각의 이등분선의 교점인 내심(incenter)이며, 반지름은 내반지름(inradius)이라고 합니다. 모든 비퇴화 삼각형은 정확히 하나의 내접원을 가집니다.

삼각형의 내반지름은 어떻게 구하나요?

내반지름 r은 r = K / s로 계산됩니다. 여기서 K는 삼각형의 넓이이고 s는 반둘레 s = (a+b+c)/2입니다. 먼저 헤론의 공식을 사용하여 넓이 K = √(s(s−a)(s−b)(s−c))를 구한 다음, 이 넓이를 반둘레로 나눕니다.

삼각형의 내심은 어디에 있나요?

내심은 삼각형의 세 각의 이등분선이 모두 만나는 지점입니다. 외심과 달리 내심은 예각, 직각, 둔각 삼각형 여부에 관계없이 항상 삼각형 내부에 위치합니다. 내심의 좌표는 꼭짓점의 가중 평균인 I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c)로 구할 수 있습니다.

내접원의 접선 길이란 무엇인가요?

접선 길이는 각 꼭짓점에서 내접원이 변과 접하는 가장 가까운 두 접점까지의 거리입니다. 꼭짓점 A에서의 접선 길이는 s − a, B에서는 s − b, C에서는 s − c입니다. 이 접선 길이들은 한 외부 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같다는 성질을 만족합니다.

접점 삼각형이란 무엇인가요?

접점 삼각형(intouch triangle)은 내접원이 삼각형의 변과 만나는 세 점을 연결하여 만들어집니다. 이 삼각형의 꼭짓점은 원래 삼각형의 변 위의 접점에 위치합니다. 접점 삼각형은 흥미로운 성질이 많은데, 예를 들어 각 각도는 원래 삼각형의 해당 각도의 절반을 90°에서 뺀 값과 같습니다.

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miniwebtool 팀 작성. 업데이트: 2026-04-03

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