Calculadora de Círculo Inscrito (Incírculo)

Calcule o círculo inscrito (incírculo) de um triângulo. Insira três lados ou três coordenadas de vértices para encontrar o inraio, incentro, pontos de tangência, comprimentos de tangência, triângulo de contato e veja um diagrama interativo com fórmulas passo a passo.

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Calculadora de Círculo Inscrito (Incírculo)

A Calculadora de Círculo Inscrito (Incírculo) encontra o círculo inscrito de qualquer triângulo. O círculo inscrito — também conhecido como incírculo — é o maior círculo que cabe inteiramente dentro de um triângulo, sendo tangente a todos os três lados. Insira os comprimentos de três lados ou as coordenadas de três vértices para computar instantaneamente o inraio, localização do incentro, pontos de tangência, comprimentos de tangência, triângulo de contato, raios dos exincírculos e muito mais, com um diagrama SVG interativo e fórmulas passo a passo.

Conceitos Chave do Círculo Inscrito

◉

Incírculo

O maior círculo que cabe dentro de um triângulo, tangente aos 3 lados

⊕

Incentro

Interseção das três bissetrizes — sempre dentro do triângulo

◇

Pontos de Tangência

Três pontos onde o incírculo toca cada lado do triângulo

△

Triângulo de Contato

Triângulo formado pela conexão dos três pontos de tangência

Fórmulas do Círculo Inscrito

Para um triângulo com lados a, b, c e semiperímetro s = (a + b + c) / 2:

Propriedade	Fórmula	Descrição
Área do Triângulo (Heron)	\(K = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}\)	Área a partir dos três lados usando o semiperímetro
Inraio	\(r = \frac{K}{s}\)	Raio do círculo inscrito
Área do Incírculo	\(A = \pi r^2\)	Área delimitada pelo incírculo
Circunferência do Incírculo	\(C = 2\pi r\)	Perímetro do incírculo
Coordenadas do Incentro	\(I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c}\)	Média ponderada dos vértices pelos comprimentos dos lados opostos
Comprimento de Tangência de A	\(t_A = s - a\)	Distância do vértice A até os pontos de tangência mais próximos
Raio do Exincírculo	\(r_A = \frac{K}{s-a}\)	Raio do exincírculo oposto ao vértice A
Distância de Euler	\(d = \sqrt{R(R-2r)}\)	Distância entre circuncentro e incentro

Incírculo vs. Circuncírculo

O incírculo e o circuncírculo são os dois círculos mais fundamentais associados a um triângulo, mas possuem propriedades distintas:

Incírculo: Fica dentro do triângulo, tangente aos três lados. Encontrado através das bissetrizes dos ângulos. O incentro sempre fica dentro do triângulo.
Circuncírculo: Passa por todos os três vértices, geralmente é maior. Encontrado através das mediatrizes. O circuncentro pode ficar fora em triângulos obtusos.
Desigualdade de Euler: Para qualquer triângulo, \(R \geq 2r\), com igualdade apenas para triângulos equiláteros.

Comprimentos de Tangência e o Triângulo de Contato

Quando o incírculo toca o lado BC no ponto D, o lado CA no ponto E, e o lado AB no ponto F, os comprimentos de tangência de cada vértice são iguais: de A, as distâncias AF = AE = s − a; de B, BF = BD = s − b; de C, CD = CE = s − c. O triângulo DEF formado pela conexão desses pontos de tangência é chamado de triângulo de contato (ou triângulo de toque). O triângulo de contato tem propriedades especiais: seus ângulos estão relacionados aos ângulos do triângulo original pela fórmula ∠D = 90° − A/2.

Exincírculos: Os Três Círculos Companheiros

Todo triângulo possui três exincírculos — círculos que são tangentes a um lado do triângulo e às extensões dos outros dois lados. O exincírculo oposto ao vértice A tem raio r_A = K/(s−a), o oposto a B tem r_B = K/(s−b), e o oposto a C tem r_C = K/(s−c). Uma identidade elegante conecta todos os quatro: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Os exincírculos são essenciais na geometria avançada de triângulos e aparecem na construção do ponto de Nagel.

Como Encontrar o Círculo Inscrito

Escolha seu método de entrada: Selecione "Três Lados" se você souber os comprimentos a, b, c, ou "Três Vértices" se tiver as coordenadas de cada vértice.
Insira os valores: Digite os três comprimentos dos lados ou as coordenadas (x, y) dos vértices A, B e C. Clique em um exemplo rápido para preencher automaticamente valores de amostra.
Clique em Calcular: Pressione o botão "Calcular Círculo Inscrito".
Revise os resultados: Veja o inraio r, coordenadas do incentro, área e circunferência do incírculo, pontos de tangência, comprimentos de tangência, raios dos exincírculos e a razão R/r.
Explore o diagrama: Alterne as camadas para o incírculo, bissetrizes, pontos de tangência, triângulo de contato e rótulos para visualizar a geometria.

Aplicações Práticas

O círculo inscrito tem muitos usos práticos. Na manufatura, o inraio determina o maior componente circular (parafuso, broca, tubo) que cabe dentro de uma abertura triangular. Na arquitetura, os incírculos ajudam a projetar características circulares máximas dentro de plantas baixas triangulares. Na geometria computacional, o incírculo e os exincírculos são usados em algoritmos de refinamento de malha para análise de elementos finitos. O raio do incírculo também serve como uma medida da "gordura" do triângulo — triângulos finos têm inraios pequenos em relação aos seus circunraios, o que é importante para a estabilidade numérica em simulações.

FAQ

O que é um círculo inscrito (incírculo)?

Um círculo inscrito, ou incírculo, é o maior círculo que cabe inteiramente dentro de um triângulo e é tangente a todos os três lados. Seu centro é chamado de incentro (a interseção das três bissetrizes dos ângulos) e seu raio é chamado de inraio. Todo triângulo não degenerado possui exatamente um círculo inscrito.

Como encontrar o inraio de um triângulo?

O inraio r é calculado como r = K / s, onde K é a área do triângulo e s é o semiperímetro s = (a+b+c)/2. Primeiro, compute a área usando a fórmula de Heron: K = √(s(s−a)(s−b)(s−c)). Em seguida, divida a área pelo semiperímetro.

Onde fica o incentro de um triângulo?

O incentro é o ponto onde todas as três bissetrizes dos ângulos de um triângulo se encontram. Ao contrário do circuncentro, o incentro sempre fica dentro do triângulo, independentemente de o triângulo ser acutângulo, retângulo ou obtusângulo. Suas coordenadas são uma média ponderada dos vértices: I = (a·A + b·B + c·C) / (a+b+c).

Quais são os comprimentos de tangência de um incírculo?

Os comprimentos de tangência são as distâncias de cada vértice até os dois pontos de tangência mais próximos onde o incírculo toca os lados. Do vértice A, o comprimento de tangência é s − a; de B, é s − b; de C, é s − c. Esses comprimentos de tangência satisfazem a propriedade de que dois segmentos tangentes de um mesmo ponto externo a um círculo são iguais em comprimento.

O que é o triângulo de contato?

O triângulo de contato (também chamado de triângulo de toque) é formado pela conexão dos três pontos onde o incírculo toca os lados do triângulo. Seus vértices ficam nos lados do triângulo original nos pontos de tangência. O triângulo de contato possui propriedades interessantes — por exemplo, cada um de seus ângulos é igual a 90° menos metade do ângulo correspondente do triângulo original.

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pela equipe miniwebtool. Atualizado: 2026-04-03

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Incírculo vs. Circuncírculo

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