クーロンの法則電卓

クーロンの法則計算機は、\( F = k_e \dfrac{q_{1} q_{2}}{\varepsilon_{r}\, r^{2}} \) の公式に基づいて、2つの点電荷の間に働く静電気力を計算する電卓です。力 F、いずれかの電荷、または離間距離 r の中から求めたい未知数を選択し、残りの3つの数量を一般的な単位（クーロン、マイクロクーロン、ピコクーロン、元電荷 e、さらには CGS 静電単位スタットクーロン）で入力します。この電卓は、力の大きさ、引力または斥力の方向（ライブ SVG で反転する矢印で表示）、2番目の電荷の位置における電場の強さ、静電位置エネルギー、化学反応がなぜ電気によって支配されているかを説明する劇的な静電気力と重力の比、そしてステップバイステップの LaTeX 導出プロセスを返します。誘電体媒体のセレクターは真空、空気、水、ガラス、シリコン、および自由に入力できるカスタム εᵣ に対応しており、周囲の物質がどのように力を遮蔽するかをモデリングできます。

このクーロンの法則計算機の使い方

1. 計算する変数のドロップダウンから未知数（F、q₁、q₂、または r）を選択します。対応する入力フィールドは自動的に非表示になり、残りの3つのフィールドへの入力が必須となります。
2. 2つの電荷を符号を含めて入力します。正の数と負の数の両方に対応しており、単位を混在させることも可能です（例：q₁ をナノクーロン、q₂ を元電荷として入力）。
3. 離間距離 r を、原子スケールの問題で使われるピコメートルやオングストロームから、雷雲の例で使われるキロメートルまで、サポートされている単位のいずれかで入力します。
4. 周囲の媒体を選択します。真空と空気はほぼ同一です（εᵣ ≈ 1）。εᵣ ≈ 80 の水中では、力がほぼ2桁小さくなります。特殊な誘電体の場合は、カスタム εᵣ を選択してその数値を入力してください。
5. 計算するボタンを押し、計算結果、引力・斥力の視覚化、静電気力と重力の比（F_electric ⁄ F_gravity）、ステップバイステップの導出プロセス、およびコンテキストに応じた解説テキストを確認します。

この電卓の特長

一行でわかるクーロンの法則

比誘電率 εᵣ の媒体中で、r だけ離れた2つの点電荷 q₁ と q₂ が互いに及ぼし合う力は、以下の式で与えられます。

\[ F \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

ここで、クーロン定数 \(k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² です。積 \(q_{1}\,q_{2}\) が正の場合、力は斥力となり（電荷を結ぶ直線上で互いを押し離す）、積が負の場合、力は引力となります。それぞれの電荷に働く力の大きさは等しくなります（ニュートンの第三法則）。

対応する、q₂ の位置における q₁ の電場は以下の通りです。

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

また、この配置に蓄えられる静電位置エネルギーは以下の通りです。

\[ U \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r} \]

U は同符号のペアでは正となり（それらを引き合わせるためにエネルギーを供給する必要がある）、異符号のペアでは負となります（接近するにつれてエネルギーが放出される）。

計算例：水素原子

基底状態にある水素原子の内部の電子–陽子ペアを考えます。離間距離はボーア半径 \(r \approx 5.29 \times 10^{-11}\) m です。

• \( F = (8.9875 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})(1.6 \times 10^{-19}) / (5.29 \times 10^{-11})^{2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\) N — およそ 82 ナノニュートンです。
• 同じペアに働く万有引力： \( F_{g} = G\,m_{e}\,m_{p}/r^{2} \approx 3.6 \times 10^{-47}\) N です。
• 比率： \( F/F_{g} \approx 2.3 \times 10^{39} \)。電磁気力は、両方が作用するすべてのスケールにおいて重力よりも約 10³⁹ 倍強く、これが原子が存在し、石がバラバラに飛び散らない理由です。

計算例：2つの帯電した球体

2つの小さな導電性球体がそれぞれ +5 µC の電荷を帯び、空気中で 1 m 離れて置かれているとします。

• \( F = k\,q_{1}\,q_{2}/r^{2} = (8.9875 \times 10^{9})(5 \times 10^{-6})^{2} / 1^{2} \approx 0.225\) N — およそペーパークリップ1個分の重量です。
• 両方の電荷が正であるため、力は斥力となり、球体はそれらを結ぶ直線上で互いに押し離されます。
• 一方の球体がもう一方の中心に作り出す電場は、\( E = kq/r^{2} \approx 44 950\) V/m — 強い電場ですが、乾燥した空気の絶縁破壊電圧である約 3 × 10⁶ V/m を大きく下回っています。

同じ電荷、異なる媒体：水中でのイオン結合

Na⁺ イオンと Cl⁻ イオンが、一般的な NaCl の結合距離 \(r \approx 2.82\) Å にあるとします。

• 真空中： \( F \approx 2.9 \times 10^{-9}\) N — 数電子ボルト（eV）の位置エネルギーに相当する、強い原子スケールの引力です。
• 水中（εᵣ ≈ 80.4）：同じ幾何学的配置でも \( F \approx 3.6 \times 10^{-11}\) N となり、およそ 80分の1 に低下します。誘電遮蔽が十分に大きいため、熱運動（25 °C で kT ≈ 25 meV）によって結合が切れるようになります。これが、イオン性塩が水にこれほど容易に溶ける理由そのものです。

向心力 vs 遠心力 vs クーロン力

クーロン力は、自然界が提供する本物の内向き（または外向き）の力の1つです。帯電した粒子を円軌道に乗せる場合（粒子加速器や、半古典的モデルにおける原子軌道上の電子など）、クーロン力が軌道を円に曲げるための「向心力」となります。これに対して、「遠心力」の感覚は回転座標系にのみ存在する見かけ上の外向きの力であり、実際に内側に引っ張っている本物の力は依然としてクーロン力です。

力が実際に由来する場所：物理的なシナリオ

なぜ εᵣ < 1 が許されないのか

真空は、可能な限り最小の誘電率を持っています。物質は、その束縛電荷を配向させて元の電場を部分的に相殺することにより、クーロン力を弱めることしかできません。静的周波数において力を強めることは決してありません。したがって、この電卓では εᵣ ≥ 1 を要求しており、それより小さい値を入力するとバリデーションエラーが発生します。εᵣ < 1 が現れる可能性のある高周波や異常分散の問題については、この単純な形式のクーロンの法則は適用されません。

よくある質問

クーロンの法則の公式とは何ですか？
F = k · q₁ · q₂ / r² です。ここで k ≈ 8.9875 × 10⁹ N·m²/C² はクーロン定数、q₁ と q₂ はクーロン単位の電荷、r はメートル単位の離間距離です。真空以外の媒体では、比誘電率 εᵣ で割ります。

力が引力か斥力かを見分けるにはどうすればよいですか？
2つの電荷の符号を掛け合わせます。同符号（両方プラス、または両方マイナス）は反発（斥力）し、異符号は引き合います（引力）。この電卓は、ライブ SVG 内で反転する矢印で方向を直接示します。

クーロン定数とは何ですか？
k = 1 / (4π ε₀) ≈ 8.9875517873681764 × 10⁹ N·m²/C² です。ε₀ は真空の誘電率で、8.8541878128 × 10⁻¹² F/m です。

クーロン単位での1元電荷はいくらですか？
e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C です。これは2019年の SI 再定義以来、正確な定数となっています。陽子は +1 e、電子は −1 e を持っています。

電荷の間の媒体によって力は変わりますか？
はい。力は媒体の比誘電率 εᵣ で割られます。真空の εᵣ は 1、水の εᵣ は約 80 です。そのため、水中のイオン間の力は、同じ離間距離の真空中よりも約 80分の1 に弱まります。

なぜ静電気力は重力よりも圧倒的に強いのですか？
陽子–電子ペアにおいて、クーロン引力はどのような離間距離であっても彼らの相互の重力よりおよそ 2.3 × 10³⁹ 倍強いです。電磁気結合定数が重力結合定数よりも圧倒的に大きいためです。電卓はこの比率を明示的にレポートします。

力の代わりに離間距離 r を計算することはできますか？
はい。計算する変数を「離間距離 r」に設定すると、電卓は公式を r = √( k · q₁ · q₂ / (εᵣ · F) ) に変形して計算します。その際、r の入力フィールドは自動的に非表示になります。

電荷を元電荷 e や CGS 静電単位スタットクーロンで入力できますか？
はい。電荷単位のドロップダウンには、クーロン、ミリからフェムトまでのクーロン、元電荷 e、およびスタットクーロン（esu）が含まれています。電卓は内部ですべてを SI 単位に変換します。