库仑定律计算器

库仑定律计算器可以通过公式 \( F = k_e \dfrac{q_{1} q_{2}}{\varepsilon_{r}\, r^{2}} \) 计算两个点电荷之间的静电力。选择未知量 —— 力 F、任一电荷或分离距离 r —— 并以任何常见单位（库仑、微库仑、皮库仑、元电荷 e，甚至是 CGS 静电库仑）输入其他三个物理量。计算器将返回力的大小、吸引或排斥方向（实时 SVG 箭头会随之翻转）、第二个电荷位置处的电场强度、静电势能、用于解释为什么化学反应本质上是电性的戏剧性“库仑力与万有引力之比”以及逐步 LaTeX 推导过程。电介质介质选择器支持真空、空气、水、玻璃、硅以及自由形式的自定义 εᵣ，让您可以模拟周围材料如何屏蔽电力。

如何使用此库仑定律计算器

1. 在求解未知量下拉菜单中选择要计算的未知变量 —— F、q₁、q₂ 或 r。对应的输入框将自动隐藏，其余三个输入框将变为必填项。
2. 输入带有正负号的两个电荷。正数和负数均可接受，并且您可以混合使用单位（例如，q₁ 使用纳库仑，q₂ 使用元电荷）。
3. 以任何支持的单位输入分离距离 r，支持从适用于原子问题的皮米和埃到适用于雷雨云示例的千米。
4. 选择周围的介质。真空和空气几乎完全相同 (εᵣ ≈ 1)；而处于 εᵣ ≈ 80 的水中会使力降低近两个数量级。对于不常见的电介质，选择自定义 εᵣ并键入数值。
5. 点击计算，然后读取结果、吸引或排斥的可视化图形、静电力 / 万有引力比率、逐步推导过程以及任何上下文说明。

是什么让这款计算器与众不同

库仑定律一览

在相对介电常数为 εᵣ 的介质中，相距为 r 的两个点电荷 q₁ 和 q₂ 相互施加的力由下式给出：

\[ F \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

其中库仑常数 \(k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C²。如果乘积 \(q_{1}\,q_{2}\) 为正，则力为排斥力（沿着连接它们的直线将电荷推开）；如果乘积为负，则力为吸引力。根据牛顿第三定律，每个电荷受到的力大小相同。

对应的 q₁ 在 q₂ 位置处产生的电场强度为：

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

该构型中储存的静电势能为：

\[ U \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r} \]

对于同号电荷对，U 为正值（必须提供能量才能将它们带到一起）；对于异号电荷对，U 为负值（当它们接近时会释放能量）。

计算示例：氢原子

考虑处于基态的氢原子内部的电子-质子对，它们被玻尔半径 \(r \approx 5.29 \times 10^{-11}\) m 分开。

• \( F = (8.9875 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})(1.6 \times 10^{-19}) / (5.29 \times 10^{-11})^{2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\) N — 大约 82 纳牛顿。
• 同一对粒子之间的万有引力：\( F_{g} = G\,m_{e}\,m_{p}/r^{2} \approx 3.6 \times 10^{-47}\) N。
• 比率：\( F/F_{g} \approx 2.3 \times 10^{39} \)。在两者共同起作用的每个尺度上，电磁力都比万有引力强 ~10³⁹ 倍 —— 这就是原子存在而石头不会飞散的原因。

计算示例：两个带电球体

两个小型导电球各自带有 +5 µC 电荷，在空气中相距 1 m 放置。

• \( F = k\,q_{1}\,q_{2}/r^{2} = (8.9875 \times 10^{9})(5 \times 10^{-6})^{2} / 1^{2} \approx 0.225\) N — 大约是一个曲别针的重量。
• 由于两个电荷都是正电荷，所以该力是排斥力，球体沿着连接它们的直线向两侧推开。
• 一个球体在另一个球体中心处产生的电场强度为 \( E = kq/r^{2} \approx 44 950\) V/m —— 很强，但远低于干燥空气约 3 × 10⁶ V/m 的击穿电压。

相同的电荷，不同的介质：水中的离子键

一个 Na⁺ 离子和一个 Cl⁻ 离子处于典型的 NaCl 键长 \(r \approx 2.82\) Å 处。

• 在真空中：\( F \approx 2.9 \times 10^{-9}\) N —— 一种强烈的原子尺度吸引力，价值几个电子伏特的势能。
• 在水中（εᵣ ≈ 80.4）：相同的几何结构得到的力为 \( F \approx 3.6 \times 10^{-11}\) N —— 大约弱了 80 倍。电介质屏蔽效应足够大，以至于热运动（25 °C 时 kT ≈ 25 meV）可以破坏该键，这正是离子盐极易溶于水的原因。

向心力 vs 离心力 vs 库仑力

库仑力是自然界提供的四种真实向内（或向外）力之一。当您将带电粒子放在圆形轨道上（如粒子加速器，或半经典图景中在原子轨道上的电子）时，库仑力就变成了使轨迹弯曲成圆形的向心力。相比之下，“离心力”感觉是一种只存在于旋转参考系中的虚拟向外推力 —— 真实的向内拉力仍然是库仑力。

力的实际来源：物理案例

为什么不允许 εᵣ < 1

真空具有最小的可能介电常数。材料只能通过排列其束缚电荷来削弱库仑力，从而部分抵消源电场 —— 它永远无法在静态频率下增强电力。因此计算器要求 εᵣ ≥ 1；输入更小的值会引发验证错误。对于可能出现 εᵣ < 1 的高频或异常色散问题，这种简单形式的库仑定律不再适用。

常见问题解答

什么是库仑定律公式？
F = k · q₁ · q₂ / r²，其中 k ≈ 8.9875 × 10⁹ N·m²/C² 是库仑常数，q₁ 和 q₂ 是以库仑为单位的电荷，r 是以米为单位的分离距离。在非真空介质中，需除以相对介电常数 εᵣ。

我该如何知道力是吸引力还是排斥力？
将两个电荷的符号相乘。同号电荷（都是 + 或 Oxide 都是 −）相互排斥；异号电荷相互吸引。计算器通过实时 SVG 中翻转的箭头直接显示方向。

什么是库仑常数？
k = 1 / (4π ε₀) ≈ 8.9875517873681764 × 10⁹ N·m²/C²。ε₀ 是真空介电常数，值为 8.8541878128 × 10⁻¹² F/m。

一元电荷等于多少库仑？
e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C —— 自 2019 年国际单位制（SI）重新定义以来这是精确值。质子携带 +1 e，电子携带 −1 e。

电荷之间的介质会改变力的大小吗？
是的。力会除以介质的相对介电常数 εᵣ。真空的 εᵣ = 1，水 的 εᵣ ≈ 80 —— 因此在相同距离下，水中的离子力比真空中的力弱大约 80 倍。

为什么静电力比万有引力强得多？
对于质子-电子对，在任何分离距离下，库仑吸引力大约比它们彼此之间的万有引力强 2.3 × 10³⁹ 倍 —— 因为电磁耦合常数远大于万有引力耦合常数。计算器会明确报告该比率。

我可以求解分离距离 r 而不是力吗？
是的。将求解未知量设置为“距离 r”，计算器将重新调整公式为 r = √( k · q₁ · q₂ / (εᵣ · F) )。随后 r 的输入框会自动隐藏。

我可以输入以元电荷 e 或 CGS 静电库仑为单位的电荷吗？
是的。电荷单位下拉菜单包括库仑、毫库仑到飞库仑、元电荷 e 以及静电库仑 (esu)。计算器会在内部将所有内容转换为国际单位制（SI）。