Calculadora de Descomposición de Cholesky

Calculadora de Descomposición de Cholesky

La Calculadora de Descomposición de Cholesky factoriza una matriz simétrica definida positiva A en el producto de una matriz triangular inferior L y su transpuesta Lᵀ, de modo que A = LLᵀ. Esta factorización es fundamental en el álgebra lineal numérica, ofreciendo aproximadamente el doble de eficiencia que la descomposición LU general al explotar la simetría y la definición positiva de la matriz de entrada. La calculadora proporciona derivaciones animadas paso a paso, resaltado interactivo de celdas y verificación automática de que LLᵀ reconstruye A.

Cómo funciona la descomposición de Cholesky

Dada una matriz simétrica definida positiva A de n×n, el algoritmo calcula L columna por columna. Para cada columna j:

Elemento diagonal:

$$L_{jj} = \sqrt{A_{jj} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{jk}^2}$$

Elementos fuera de la diagonal (para i > j):

$$L_{ij} = \frac{1}{L_{jj}} \left( A_{ij} - \sum_{k=1}^{j-1} L_{ik} L_{jk} \right)$$

El algoritmo avanza de izquierda a derecha a través de las columnas. Cada elemento diagonal implica una raíz cuadrada, la cual está garantizada como real y positiva cuando A es definida positiva. Si aparece un valor negativo bajo la raíz cuadrada, la matriz no es definida positiva.

Condiciones para la descomposición de Cholesky

Propiedades clave

Cómo usar la Calculadora de Descomposición de Cholesky

1. Seleccione el tamaño de la matriz — Elija desde 2×2 hasta 6×6. La descomposición de Cholesky requiere una matriz cuadrada.
2. Ingrese los valores — Complete las celdas de la matriz. La calculadora refleja automáticamente las entradas a través de la diagonal para imponer la simetría (editar A[i,j] establece automáticamente A[j,i]).
3. Haga clic en Descomponer — Presione el botón "Descomponer A = LLᵀ" para calcular la factorización.
4. Explore el resultado — Revise la ecuación A = L × Lᵀ codificada por colores. Haga clic en cualquier celda de L para ver su fórmula de derivación. Use "Reproducir todo" para avanzar automáticamente por cada elemento.
5. Verificar — La calculadora vuelve a multiplicar L × Lᵀ e informa el error máximo, confirmando que la descomposición es correcta.

Aplicaciones en el mundo real

Cholesky frente a otras descomposiciones

Preguntas frecuentes

¿Qué es la descomposición de Cholesky?

La descomposición de Cholesky (llamada así por André-Louis Cholesky) factoriza una matriz simétrica definida positiva A en A = LLᵀ, donde L es una matriz triangular inferior con entradas diagonales positivas. Es una de las factorizaciones de matrices más eficientes y numéricamente estables disponibles.

¿Cuándo se puede aplicar la descomposición de Cholesky?

La matriz debe ser simétrica (A = Aᵀ) y definida positiva (todos los valores propios estrictamente positivos, o equivalentemente, xᵀAx > 0 para cada vector no nulo x). Ejemplos comunes incluyen matrices de covarianza, matrices de correlación, matrices de Gram (XᵀX para X de rango completo) y matrices de rigidez en ingeniería estructural.

¿Qué pasa si mi matriz no es definida positiva?

Si la matriz no es definida positiva, encontrará un valor negativo bajo una raíz cuadrada durante la descomposición, lo cual no es un número real. La calculadora informará un error indicando exactamente qué paso diagonal falló. Es posible que desee verificar su matriz en busca de errores de simetría o considerar la descomposición LDLᵀ para matrices semidefinidas positivas.

¿Cómo se utiliza la descomposición de Cholesky para resolver sistemas lineales?

Para resolver Ax = b, primero descomponga A = LLᵀ. Luego resuelva Ly = b mediante sustitución hacia adelante (ya que L es triangular inferior) y luego resuelva Lᵀx = y mediante sustitución hacia atrás. Esto es aproximadamente el doble de rápido que resolver mediante la descomposición LU porque L y Lᵀ comparten los mismos datos.

¿Cuál es la relación entre Cholesky y el determinante?

Dado que A = LLᵀ, tenemos det(A) = det(L) × det(Lᵀ) = det(L)². Y como L es triangular, det(L) es simplemente el producto de sus entradas diagonales. Esto proporciona una forma eficiente de calcular el determinante de una matriz definida positiva.

¿Se puede aplicar la descomposición de Cholesky a matrices complejas?

Sí, para matrices complejas la condición es que A debe ser hermítica definida positiva (A = A*, donde A* es la transpuesta conjugada). La descomposición se convierte en A = LL* donde L* es la transpuesta conjugada de L. Esta calculadora maneja matrices de valores reales.