Tangens-Rechner

Willkommen beim Tangens-Rechner — einem hochpräzisen Tool, das tan(θ) für jeden beliebigen Winkel auf 1 bis 1000 Dezimalstellen genau berechnet. Geben Sie einen Winkel in Grad oder Bogenmaß ein, sehen Sie eine Schritt-für-Schritt-Lösung in MathJax, erkunden Sie das interaktive Einheitskreisdiagramm und erhalten Sie klare Warnungen bei vertikalen Asymptoten (90°, 270°, …).

Was ist die Tangens-Funktion?

Die Tangens-Funktion (tan) ist eine der sechs grundlegenden trigonometrischen Funktionen. Sie ist definiert als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus:

Geometrisch stellt tan(θ) am Einheitskreis die y-Koordinate dar, an der der Endschenkel des Winkels θ die vertikale Tangente bei x = 1 schneidet. Sie entspricht auch der Steigung der Radiuslinie vom Ursprung im Winkel θ.

Wichtige Eigenschaften des Tangens

• Periode: π Radiant (180°) — tan(θ + 180°) = tan(θ)
• Definitionsbereich: Alle reellen Zahlen außer θ = 90° + k·180° (wo cos θ = 0)
• Wertebereich: Alle reellen Zahlen (−∞, +∞)
• Ungerade Funktion: tan(−θ) = −tan(θ)
• Asymptoten: Vertikale Asymptoten bei ungeradzahligen Vielfachen von 90° (π/2 rad)

Tangens-Werte bei speziellen Winkeln

Tangens-Vorzeichen nach Quadrant

Die Tangens-Funktion ist positiv, wenn Sinus und Kosinus das gleiche Vorzeichen haben, und negativ, wenn sie sich unterscheiden:

Merkspruch: "Alle Schüler Trinken Cola" — Alle trig. Funktionen positiv in Q I; nur Sinus in Q II; nur Tangens in Q III; nur Kosinus in Q IV.

Wichtige Tangens-Identitäten

So benutzen Sie diesen Rechner

1. Winkel eingeben: Tippen Sie einen beliebigen numerischen Wert in das Winkelfeld ein. Internationale Zahlenformate werden unterstützt (z. B. 1.234 oder 1,234).
2. Winkeleinheit wählen: Wählen Sie Grad oder Bogenmaß.
3. Präzision festlegen: Geben Sie die Anzahl der Dezimalstellen ein (1–1000). Standard ist 10; für wissenschaftliche Arbeiten sind oft 50–100+ erforderlich.
4. Auf Berechnen klicken: Sehen Sie den Tangenswert, das interaktive Einheitskreisdiagramm, die Schritt-für-Schritt-Lösung und alle trigonometrischen Werte.

Warum ein hochpräziser Tangens-Rechner?

• Beliebige Genauigkeit: Gehen Sie weit über das übliche Limit von 15–16 Stellen von Standardrechnern hinaus, bis zu 1000 Dezimalstellen.
• Präzision auf Forschungsniveau: Unterstützt durch mpmath für zuverlässige Arithmetik mit beliebiger Genauigkeit.
• Asymptoten-Erkennung: Erkennt undefinierte Punkte bei 90° + k·180° (π/2 + k·π) und warnt deutlich.
• Lehrreiche Ausgabe: MathJax-gerenderte Formeln, Einheitskreis-Visualisierung und Erkennung spezieller Winkel.

Häufig gestellte Fragen

Was ist die Tangens-Funktion in der Trigonometrie?

Die Tangens-Funktion (tan) ist definiert als das Verhältnis von Sinus zu Kosinus: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Sie stellt die Steigung der Geraden vom Ursprung im Winkel θ dar. Geometrisch ist sie der y-Wert, an dem diese Gerade die vertikale Tangente x = 1 am Einheitskreis schneidet.

Wo ist die Tangens-Funktion nicht definiert?

Der Tangens ist bei ungeradzahligen Vielfachen von 90° (oder π/2 Radiant) nicht definiert: 90°, 270°, −90°, etc. Bei diesen Winkeln ist cos(θ) = 0, wodurch das Verhältnis sin(θ)/cos(θ) undefiniert wird. Der Tangens-Graph hat an diesen Stellen vertikale Asymptoten.

Was sind die Tangens-Werte bei speziellen Winkeln?

Die exakten Tangenswertwerte bei speziellen Winkeln sind: tan(0°) = 0, tan(30°) = √3/3 ≈ 0,577, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1,732, tan(90°) = undefiniert, tan(120°) = −√3, tan(135°) = −1, tan(150°) = −√3/3 und tan(180°) = 0.

Warum ist tan(45°) gleich 1?

Bei 45° haben sowohl Sinus als auch Kosinus den gleichen Wert (√2/2). Da tan(θ) = sin(θ)/cos(θ) gilt, ergibt sich tan(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1. Geometrisch hat die Radiuslinie bei 45° eine Steigung von exakt 1.

Was ist die Periode der Tangens-Funktion?

Die Tangens-Funktion hat eine Periode von π Radiant (180°), was bedeutet, dass tan(θ + 180°) = tan(θ). Dies ist kürzer als bei Sinus und Kosinus (die eine Periode von 2π/360° haben), da sowohl sin als auch cos nach 180° ihr Vorzeichen ändern und ihr Verhältnis gleich bleibt.

In welchen Quadranten ist der Tangens positiv oder negativ?

Der Tangens ist im Quadranten I (0°–90°) und Quadranten III (180°–270°) positiv, da Sinus und Kosinus dort das gleiche Vorzeichen haben. Der Tangens ist im Quadranten II (90°–180°) und Quadranten IV (270°–360°) negativ, da Sinus und Kosinus dort unterschiedliche Vorzeichen haben.

Zusätzliche Ressourcen

• Tangens – Wikipedia
• Graphen trig. Funktionen – Khan Academy
• Tangent – Wolfram MathWorld (Englisch)