Kalkulator tangensa

Q: Jaki jest okres funkcji tangens?

Funkcja tangens ma okres π radianów (180°), co oznacza, że tan(θ + 180°) = tan(θ) dla wszystkich θ, dla których tangens jest określony. Różni się to od sinusa i cosinusa, które mają okresy 2π (360°). Krótszy okres tangensa wynika z faktu, że zarówno sin, jak i cos zmieniają znak po 180°, a ich stosunek pozostaje niezmieniony.

Oblicz tangens dowolnego kąta z precyzją od 1 do 1000 miejsc po przecinku. Obsługuje stopnie i radiany, pokazuje rozwiązania krok po kroku, interaktywne koło jednostkowe i wyraźnie oznacza asymptoty pionowe wraz z tabelą kątów specjalnych.

BezpłatneBez rejestracjiAktualizacja lut 2026

Kalkulator tangensaWypróbuj teraz — za darmo ▼

Embed Kalkulator tangensa Widget

O Kalkulator tangensa

Witaj w Kalkulatorze tangensa — narzędziu o wysokiej precyzji, które oblicza tan(θ) dla dowolnego kąta z dokładnością od 1 do 1000 miejsc po przecinku. Wprowadź kąt w stopniach lub radianach, zobacz rozwiązanie krok po kroku renderowane w MathJax, poznaj interaktywny diagram koła jednostkowego i otrzymuj wyraźne ostrzeżenia przy asymptotach pionowych (90°, 270°, …).

Co to jest funkcja tangens?

Funkcja tangens (tan) to jedna z sześciu podstawowych funkcji trygonometrycznych. Definiuje się ją jako stosunek sinusa do cosinusa:

Definicja tangensa

$$\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$$

Geometrycznie, na kole jednostkowym, tan(θ) reprezentuje współrzędną y punktu, w którym ramię końcowe kąta θ przecina pionową linię styczną x = 1. Równa się ona również nachyleniu promienia od początku układu współrzędnych pod kątem θ.

Kluczowe właściwości tangensa

Okres: π radianów (180°) — tan(θ + 180°) = tan(θ)
Dziedzina: Wszystkie liczby rzeczywiste z wyjątkiem θ = 90° + k·180° (gdzie cos θ = 0)
Zbiór wartości: Wszystkie liczby rzeczywiste (−∞, +∞)
Funkcja nieparzysta: tan(−θ) = −tan(θ)
Asymptoty: Asymptoty pionowe w nieparzystych wielokrotnościach 90° (π/2 rad)

Wartości tangensa dla kątów specjalnych

Kąt (°)	Kąt (rad)	sin θ	cos θ	tan θ
0°	0	0	1	0
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3 ≈ 0,577
45°	π/4	√2/2	√2/2	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3 ≈ 1,732
90°	π/2	1	0	nieokreślony
120°	2π/3	√3/2	−1/2	−√3
135°	3π/4	√2/2	−√2/2	−1
150°	5π/6	1/2	−√3/2	−√3/3
180°	π	0	−1	0

Znak tangensa według ćwiartki

Funkcja tangens jest dodatnia tam, gdzie sinus i cosinus mają ten sam znak, a ujemna tam, gdzie znaki te są różne:

Ćwiartka	Zakres	sin θ	cos θ	tan θ
I	0°–90°	+	+	+ dodatni
II	90°–180°	+	−	− ujemny
III	180°–270°	−	−	+ dodatni
IV	270°–360°	−	+	− ujemny

Mnemotechnika: "W pierwszej ćwiartce wszystkie są dodatnie, w drugiej tylko sinus, w trzeciej tangens i cotangens, a w czwartej cosinus."

Kluczowe tożsamości tangensa

Tożsamość pitagorejska

$$1 + \tan^2(\theta) = \sec^2(\theta)$$

Podwojony kąt

$$\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)}$$

Wzór na sumę

$$\tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$$

Połowa kąta

$$\tan\!\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta}$$

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wprowadź kąt: Wpisz dowolną wartość liczbową w polu kąta. Obsługiwane są międzynarodowe formaty liczb (np. 1.234 lub 1,234).
Wybierz jednostkę kąta: Wybierz Stopnie lub Radiany.
Ustaw precyzję: Wprowadź liczbę miejsc po przecinku (1–1000). Standardowo to 10; prace naukowe mogą wymagać 50–100+.
Kliknij Oblicz: Zobacz wartość tangensa, interaktywny diagram koła jednostkowego, rozwiązanie krok po kroku i kompletne wartości trygonometryczne.

Dlaczego warto używać tangensa o wysokiej precyzji?

Dowolna precyzja: Wyjdź daleko poza typowy limit 15–16 cyfr standardowych kalkulatorów, aż do 1000 miejsc po przecinku.
Dokładność klasy badawczej: Oparte na mpmath dla niezawodnej arytmetyki o dowolnej precyzji.
Świadomość asymptot: Wykrywa punkty nieokreślone przy 90° + k·180° (π/2 + k·π) i ostrzega w sposób wyraźny.
Edukacyjny charakter: Formuły renderowane w MathJax, wizualizacja koła jednostkowego i wykrywanie kątów specjalnych.

Często zadawane pytania

Co to jest funkcja tangens w trygonometrii?

Funkcja tangens (tan) jest definiowana jako stosunek sinusa do cosinusa: tan(θ) = sin(θ)/cos(θ). Reprezentuje ona nachylenie linii przechodzącej przez początek układu współrzędnych pod kątem θ, a geometrycznie jest to wartość y w punkcie przecięcia tej linii z pionową styczną x = 1 na kole jednostkowym.

Dla jakich wartości funkcja tangens jest nieokreślona?

Tangens jest nieokreślony dla nieparzystych wielokrotności 90° (lub π/2 radianów): 90°, 270°, −90° itd. Przy tych kątach cos(θ) = 0, co sprawia, że stosunek sin(θ)/cos(θ) jest nieokreślony. Wykres tangensa ma w tych punktach asymptoty pionowe.

Jakie są wartości tangensa dla kątów specjalnych?

Dokładne wartości tangensa dla kątów specjalnych to: tan(0°) = 0, tan(30°) = √3/3 ≈ 0,577, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1,732, tan(90°) = nieokreślony, tan(120°) = −√3, tan(135°) = −1, tan(150°) = −√3/3 oraz tan(180°) = 0.

Dlaczego tan(45°) równa się 1?

Przy 45° zarówno sinus, jak i cosinus mają tę samą wartość (√2/2). Ponieważ tan(θ) = sin(θ)/cos(θ), otrzymujemy tan(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1. Geometrycznie ramię promienia pod kątem 45° ma nachylenie dokładnie równe 1.

Jaki jest okres funkcji tangens?

Funkcja tangens ma okres π radianów (180°), co oznacza tan(θ + 180°) = tan(θ). Jest to okres krótszy niż w przypadku sinusa i cosinusa (które mają okres 2π/360°), ponieważ zarówno sin, jak i cos zmieniają znak po 180°, a ich stosunek pozostaje taki sam.

W których ćwiartkach tangens jest dodatni lub ujemny?

Tangens jest dodatni w I ćwiartce (0°–90°) i III ćwiartce (180°–270°), gdzie sinus i cosinus mają ten sam znak. Tangens jest ujemny w II ćwiartce (90°–180°) i IV ćwiartce (270°–360°), gdzie sinus i cosinus mają przeciwne znaki.

Dodatkowe zasoby

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator tangensa" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-tangensa/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 13 lutego 2026

Dostępne API dla deweloperów: Uruchom to narzędzie z aplikacji, automatyzacji lub agenta za pomocą jednego żądania HTTP JSON. Zobacz dokumentację API

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.