Inkreis-Rechner (Einbeschriebener Kreis)

Inkreis-Rechner (Einbeschriebener Kreis)

Der Inkreis-Rechner für einbeschriebene Kreise findet den Inkreis eines beliebigen Dreiecks. Der einbeschriebene Kreis — auch Inkreis genannt — ist der größte Kreis, der vollständig in ein Dreieck passt und alle drei Seiten berührt. Geben Sie drei Seitenlängen oder drei Eckpunktkoordinaten ein, um sofort den Inkreisradius, die Position des Mittelpunkts, Berührungspunkte, Tangentenabschnitte, das Kontakt-Dreieck, Ankreisradien und mehr zu berechnen, ergänzt durch ein interaktives SVG-Diagramm und Schritt-für-Schritt-Formeln.

Grundbegriffe des einbeschriebenen Kreises

Formeln zum Inkreis

Für ein Dreieck mit den Seiten a, b, c und dem halben Umfang s = (a + b + c) / 2:

Inkreis vs. Umkreis

Der Inkreis und der Umkreis sind die zwei grundlegendsten Kreise, die mit einem Dreieck verbunden sind, haben aber unterschiedliche Eigenschaften:

• Inkreis: Liegt innerhalb des Dreiecks, berührt alle drei Seiten. Bestimmt durch Winkelhalbierende. Der Mittelpunkt liegt immer im Inneren.
• Umkreis: Verläuft durch alle drei Eckpunkte, meist größer. Bestimmt durch Mittelsenkrechten. Der Mittelpunkt kann bei stumpfwinkligen Dreiecken außerhalb liegen.
• Eulersche Ungleichung: Für jedes Dreieck gilt \(R \geq 2r\), wobei Gleichheit nur bei gleichseitigen Dreiecken eintritt.

Tangentenabschnitte und das Kontakt-Dreieck

Wenn der Inkreis die Seite BC im Punkt D, die Seite CA im Punkt E und die Seite AB im Punkt F berührt, sind die Tangentenabschnitte von jedem Eckpunkt aus gleich lang: von A aus die Abstände AF = AE = s − a; von B aus BF = BD = s − b; von C aus CD = CE = s − c. Das durch die Verbindung dieser Berührungspunkte gebildete Dreieck DEF wird als Kontakt-Dreieck (oder Gergonne-Dreieck) bezeichnet. Es besitzt besondere Eigenschaften: Seine Winkel hängen mit den Winkeln des Originaldreiecks über die Formel ∠D = 90° − A/2 zusammen.

Ankreise: Die drei Begleitkreise

Jedes Dreieck besitzt drei Ankreise — Kreise, die eine Seite des Dreiecks und die Verlängerungen der anderen beiden Seiten berühren. Der Ankreis gegenüber Eckpunkt A hat den Radius r_A = K/(s−a), gegenüber B den Radius r_B = K/(s−b) und gegenüber C den Radius r_C = K/(s−c). Eine elegante Identität verbindet alle vier: 1/r = 1/r_A + 1/r_B + 1/r_C. Ankreise sind in der fortgeschrittenen Dreiecksgeometrie wesentlich und erscheinen beispielsweise bei der Konstruktion des Nagel-Punktes.

So finden Sie den Inkreis

1. Wählen Sie Ihre Eingabemethode: Wählen Sie "Drei Seiten", wenn Sie die Seitenlängen a, b, c kennen, oder "Drei Eckpunkte", wenn Sie die Koordinaten jedes Eckpunkts haben.
2. Werte eingeben: Geben Sie die drei Seitenlängen oder die (x, y)-Koordinaten der Eckpunkte A, B und C ein. Klicken Sie auf ein Beispiel, um Musterwerte automatisch auszufüllen.
3. Auf Berechnen klicken: Drücken Sie die Schaltfläche "Inkreis berechnen".
4. Ergebnisse prüfen: Sehen Sie den Inkreisradius r, die Mittelpunktskoordinaten, Inkreisfläche und -umfang, Berührungspunkte, Tangentenabschnitte, Ankreisradien und das R/r-Verhältnis.
5. Diagramm erkunden: Schalten Sie Ebenen für den Inkreis, Winkelhalbierende, Berührungspunkte, das Kontakt-Dreieck und Beschriftungen ein, um die Geometrie zu visualisieren.

Praktische Anwendungen

Der einbeschriebene Kreis hat viele praktische Anwendungen. In der Fertigung bestimmt der Inkreisradius das größte kreisförmige Bauteil (Bolzen, Bohrer, Rohr), das in eine dreieckige Öffnung passt. In der Architektur helfen Inkreise dabei, maximale kreisförmige Merkmale innerhalb dreieckiger Grundrisse zu entwerfen. In der Computergeometrie werden Inkreis und Ankreise in Algorithmen zur Netzverfeinerung für Finite-Elemente-Analysen verwendet. Der Inkreisradius dient zudem als Maß für die "Fülle" eines Dreiecks — dünne Dreiecke haben im Verhältnis zu ihrem Umkreisradius kleine Inkreisradien, was für die numerische Stabilität in Simulationen wichtig ist.

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