偵測到廣告封鎖，導致我們無法顯示廣告
MiniWebtool 依靠廣告收入免費提供服務。如果這個工具幫到你，歡迎升級 Premium（無廣告 + 更快），或將 MiniWebtool.com 加入允許清單後重新整理頁面。
- 或升級 Premium（無廣告）
- 允許 MiniWebtool.com 顯示廣告，然後重新載入
雙重積分計算機
歡迎使用雙重積分計算機，這是一個功能強大的運算工具，可評估雙重積分並提供全面的逐步解題過程和 3D 視覺化。無論您是在學習多變量微積分、解決物理問題還是進行工程應用，此計算機都能提供積分過程的詳細解析，幫助您理解並驗證您的工作。
什麼是雙重積分？
雙重積分將單變量積分的概念擴展到二元函數。單積分計算曲線下的面積，而雙重積分則計算 xy 平面上區域 R 上方曲面 f(x,y) 下的體積。雙重積分是多變量微積分的基礎，在物理、工程、機率論和經濟學中都有廣泛應用。
雙重積分透過累次積分進行求值：首先對一個變數進行積分（內層積分），同時將另一個變數視為常數，然後對結果再關於第二個變數進行積分（外層積分）。
雙重積分的類型
定雙重積分
定雙重積分對兩個變數都有指定的邊界，並產生一個數值。這代表在矩形區域 [a,b] × [c,d] 上，曲面 z = f(x,y) 與 xy 平面之間的有號體積：
不定雙重積分
不定雙重積分沒有指定的邊界，會產生一個函數（反導數）加上積分常數：
如何使用此計算機
- 輸入您的函數： 使用標準數學記法輸入 f(x,y)。支援的函數包括多項式、三角函數 (sin, cos, tan)、指數函數 (exp, e^x)、雙曲函數 (sinh, cosh) 和對數函數 (ln)。
- 指定積分變數： 輸入內層變數（先積分）和外層變數（後積分）。常見選擇是 x 和 y，但任何單個字母都可以。
- 設定邊界（選填）： 對於定積分，提供每個變數的下限和上限。您可以使用數字、pi、e 或像 pi/2 這樣的表達式。若為不定積分請留空。
- 計算： 點擊按鈕計算積分並查看完整的逐步解題過程。
- 查看結果： 查看顯示每個積分步驟的詳細解法，以及定積分的 3D 視覺化圖表。
雙重積分的應用
計算曲面下、曲面間或實體區域的體積。在工程設計和 3D 建模中至關重要。
計算不規則區域的面積以及在 2D 表面上具有變密度分佈的物體質量。
計算質心、慣性矩、電通量、重力場以及變力所做的功。
評估連續隨機變數的聯合機率分佈、期望值和相關性。
逐步積分過程
此計算機將雙重積分分解為清晰的步驟：
- 問題識別： 顯示要評估的積分並識別積分順序。
- 內層積分： 對第一個變數進行積分，同時將第二個變數視為常數。
- 套用內層邊界： 對於定積分，在內層限制處進行代入和求值。
- 外層積分： 對所得表達式關於第二個變數進行積分。
- 套用外層邊界： 對於定積分，在外層限制處進行代入和求值。
- 最終結果： 呈現計算出的數值或反導數函數。
支援的函數與記法
此計算機辨識標準數學記法：
- 多項式： x^2, x*y, x^3 + y^2, xy（支援隱式乘法）
- 三角函數： sin(x), cos(y), tan(x), sec(x), csc(x), cot(x)
- 指數函數： exp(x), e^x, exp(x+y), exp(x*y)
- 雙曲函數： sinh(x), cosh(y), tanh(x)
- 對數函數： ln(x), log(x)（自然對數）
- 常數： pi (π ≈ 3.14159), e (≈ 2.71828)
- 運算： + - * / ^ (次方)
積分邊界
對於定積分，邊界可以使用以下方式指定：
- 數字： 0, 1, 2, -1, 0.5
- 常數： pi, e
- 表達式： pi/2, pi/4, 2*pi, e/2
注意： 每個變數的下限必須小於上限。
常見問題解答
什麼是雙重積分？
雙重積分將積分的概念擴展到二元函數。它計算 xy 平面上某個區域上方曲面 f(x,y) 下的體積。記法為 ∬f(x,y)dA 或 ∫∫f(x,y)dydx，其中我們先對一個變數進行積分（內層積分），然後再對另一個變數進行積分（外層積分）。
如何逐步評估雙重積分？
評估雙重積分的步驟：1) 確定積分順序（dydx 或 dxdy）。2) 將另一個變數視為常數，執行內層積分。3) 在內層積分的邊界處進行求值。4) 對結果執行外層積分。5) 在外層積分的邊界處求值以得出最終答案。
定雙重積分和不定雙重積分有什麼區別？
定雙重積分對兩個變數都有指定的邊界，並產生一個代表曲面下體積的數值。不定雙重積分沒有邊界，會產生一個函數（反導數）加上積分常數。定積分用於計算實際的體積、面積和累積量。
我可以在積分限制中使用 pi 或 e 等表達式嗎？
是的！此計算機支援在邊界中使用數學表達式，包括 pi (π)、e (歐拉數)、分數（如 pi/2 或 pi/4）以及算術表達式。例如，您可以將三角積分的限制設定為 0 到 pi，或將標準單位區域設定為 0 到 1。
我可以使用此計算機積分哪些函數？
此計算機支援廣泛的函數，包括多項式 (x^2, x*y)、三角函數 (sin, cos, tan)、指數函數 (exp, e^x)、雙曲函數 (sinh, cosh)、對數函數 (ln, log) 及其組合。請使用標準數學記法，支援隱式乘法（xy 表示 x*y）。
雙重積分有哪些應用？
雙重積分用於計算：曲面下的體積、2D 區域的面積、變密度 2D 物體的質量、質心、慣性矩、2D 區域上的機率分佈、電通量，以及許多涉及區域分佈量的物理和工程應用。
其他資源
引用此內容、頁面或工具為：
"雙重積分計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/雙重積分計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2026年1月20日
您還可以嘗試我們的 AI數學解題器 GPT，通過自然語言問答解決您的數學問題。