逆矩陣計算機
使用 Gauss-Jordan 消去法計算方陣的逆矩陣,提供詳細的逐步列運算過程。支持 2×2 到 6×6 矩陣,具備精確的分數算術、行列式計算以及 A×A⁻¹=I 驗證功能。
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逆矩陣計算機
逆矩陣計算機使用 Gauss-Jordan 消去法計算任何方陣的逆矩陣,並逐步顯示每個列運算。輸入 2×2、3×3、4×4、5×5 或 6×6 矩陣,即可獲得精確的分數算術逆矩陣,無捨入誤差。此工具還會計算行列式,並透過確認 A × A⁻¹ = I 來驗證結果。
什麼是逆矩陣?
方陣 \(A\) 的逆矩陣(記作 \(A^{-1}\))是滿足以下條件的唯一矩陣:
$$A \times A^{-1} = A^{-1} \times A = I$$
其中 \(I\) 是單位矩陣。只有非奇異矩陣(即行列式不為零的矩陣)才有逆矩陣。
如何使用 Gauss-Jordan 消去法求逆矩陣
第 1 步:使用 +/− 按鈕選擇方陣的大小(2×2 到 6×6),或點擊快速範例載入預設矩陣。
第 2 步:在網格中輸入您的矩陣值。您可以輸入整數、小數或分數,例如 1/3 或 -5/2。使用 Tab、Enter 或方向鍵在儲存格之間移動。對角線儲存格會以藍色突顯。
第 3 步:點擊計算逆矩陣。計算機會在您的矩陣旁加上單位矩陣形成增廣矩陣 [A|I],並應用 Gauss-Jordan 消去法將其轉換為 [I|A⁻¹]。
第 4 步:查看精確分數和小數形式的逆矩陣。使用分頁切換視圖。熱圖視覺化讓您一目了然地看到每個項的大小和正負號。
第 5 步:透過瀏覽每個列運算來查看逐步解題過程,或按下「播放」進行動畫播放。驗證區段確認 A × A⁻¹ = I。
2×2 矩陣逆矩陣公式
對於 2×2 矩陣 \(\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\),其逆矩陣為:
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$
此公式僅在 \(ad - bc \neq 0\) 時有效。對於更大的矩陣,Gauss-Jordan 消去法(本計算機使用的方法)是標準做法。
計算逆矩陣的方法
| 方法 | 工作原理 | 最適合 |
|---|---|---|
| Gauss-Jordan 消去法 | 將 [A|I] 列化簡為 [I|A⁻¹] | 通用,任何大小 |
| 2×2 公式 | \(\frac{1}{\det}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\) | 快速 2×2 計算 |
| 伴隨矩陣法 | \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \text{adj}(A)\) | 理論、符號運算 |
| LU 分解 | 將 A 分解為 LU,解 LUX = I | 數值計算、大型矩陣 |
逆矩陣的性質
| 性質 | 公式 |
|---|---|
| 對合性 | \((A^{-1})^{-1} = A\) |
| 轉置 | \((A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\) |
| 純量倍數 | \((kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}\) |
| 乘積 | \((AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}\) |
| 行列式 | \(\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}\) |
逆矩陣的應用
常見問題
什麼是逆矩陣?
方陣 A 的逆矩陣(記作 A⁻¹)是唯一的矩陣,滿足 A × A⁻¹ = A⁻¹ × A = I,其中 I 是單位矩陣。只有行列式不為零的方陣(非奇異矩陣)才具有逆矩陣。
如何使用 Gauss-Jordan 消去法求逆矩陣?
透過將單位矩陣放在 A 的旁邊來形成增廣矩陣 [A|I]。然後應用列運算將左側化簡為單位矩陣。右側則會自動變成 A⁻¹。這是因為每個列運算都相當於左乘一個初等矩陣。
矩陣什麼時候沒有逆矩陣?
當矩陣的行列式等於零時,該矩陣是奇異的(不可逆)。這發生在列或行線性相關時,意味著其中一列可以寫成其他列的組合。在 Gauss-Jordan 消去過程中,這會表現為零主元。
行列式與逆矩陣之間的關係是什麼?
一個矩陣有逆矩陣的充分必要條件是其行列式不為零。對於 2×2 矩陣 [[a,b],[c,d]],逆矩陣為 (1/det) × [[d,-b],[-c,a]],其中 det = ad - bc。對於更大的矩陣,伴隨矩陣公式給出 A⁻¹ = (1/det(A)) × adj(A)。
非方陣可以有逆矩陣嗎?
非方陣沒有真正的雙邊逆矩陣。然而,它們可能有左逆矩陣(如果具有滿行秩)或右逆矩陣(如果具有滿列秩)。Moore-Penrose 偽逆將此概念推廣到所有矩陣。
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由 MiniWebtool 團隊製作。更新時間:2026-04-09
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