質數分解計算機

立即計算任何正整數的質因數分解。獲取分步分解過程、因數樹視覺化以及質因數的完整分析。

質數分解計算機

歡迎使用我們的質數分解計算機，這是一款免費的線上工具，可以立即將任何正整數分解為其質因數。無論您是學習數論的學生、準備課程的老師、實現演算法的工程師，還是僅僅對數字結構感到好奇，此計算機都能提供完整的質因數分解，並附帶分步說明和視覺化表示。

什麼是質因數分解？

質數分解（也稱為質因數分解或整數分解）是將合數表示為質數乘積的過程。根據算術基本定理，每個大於 1 的整數要么本身是質數，要么可以唯一地表示為質數的乘積（不考慮因數的順序）。

例如：

60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5
100 = 2 × 2 × 5 × 5 = 2² × 5²
17 = 17（本身就是質數）
256 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2⁸

什麼是質數？

質數（又稱素數）是大於 1 的自然數，除了 1 和它本身外沒有其他正因數。換句話說，質數只能被 1 和它本身整除。前幾個質數是：

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47...

關於質數的重要事實：

2 是唯一的偶質數 – 所有其他偶數都能被 2 整除
質數有無限多個
隨著數字變大，質數出現的頻率會降低
每個合數都可以由質數構建而成

為什麼質因數分解很重要？

1. 數論的基礎

質因數分解對於理解整數結構至關重要。算術基本定理指出質因數分解是唯一的，這使其成為數論的基石。

2. 密碼學與電腦安全

現代加密方法（如 RSA）依賴於分解大合數的難度。雖然將兩個大質數相乘很容易，但將結果分解回這些質數在計算上非常困難，這構成了安全通訊的基礎。

3. 尋找最大公因數和最小公倍數

可以使用質因數分解高效地計算最大公因數（GCD）和最小公倍數（LCM）。這在化簡分數、解決涉及比例的問題以及處理週期性現象時非常有用。

4. 簡化數學運算

質因數分解有助於簡化平方根、立方根和其他根式表達式。它在求解丟番圖方程和理解整除規則方面也很有用。

5. 現實世界應用

質因數分解出現在調度問題、音樂理論（諧波關係）、組合數學和用於優化的電腦演算法中。

如何求質因數分解

方法 1：短除法

這是最直接的方法：

從最小的質數（2）開始
如果該數是偶數，則除以 2，並繼續除以 2，直到得到一個奇數
移至下一個質數（3, 5, 7, 11, ...）並重複除法過程
繼續直到商變為 1
使用的所有除數就是質因數

範例：分解 60
60 ÷ 2 = 30
30 ÷ 2 = 15
15 ÷ 3 = 5
5 ÷ 5 = 1
結果： 60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2² × 3 × 5

方法 2：因數樹

一種在每一步將數字分解為因數的視覺化方法：

將數字寫在頂部
找到該數字的任何兩個因數（不一定是質數）
向下分支到這兩個因數
繼續分解每個非質數分支，直到所有終點都是質數
終點處的質數就是質因數

方法 3：使用我們的計算機

在輸入框中輸入您的數字
點擊“計算質因數分解”按鈕處理該數字
查看指數表示法的完整分解結果
查看分步除法過程
檢查直觀的因數樹表示

理解結果

指數表示法

當一個質因數出現多次時，為了簡潔，我們使用指數表示法：

2 × 2 × 2 = 2³（2 的立方或“2 的 3 次方”）
5 × 5 = 5²（5 的平方）
3 × 3 × 3 × 3 = 3⁴（3 的 4 次方）

唯一的質因數

唯一質因數的數量告訴您有多少個不同的質數可以整除該數。例如，60 = 2² × 3 × 5 有三個唯一的質因數：2, 3 和 5。

質因數總數

這計算包含重複的質因數。對於 60 = 2 × 2 × 3 × 5，共有四個質因數（2 計算兩次）。

因數總數

使用質因數分解，您可以計算一個數字有多少個因數。如果 n = p₁^a₁ × p₂^a₂ × ... × pₖ^aₖ，那麼因數的數量是 (a₁+1) × (a₂+1) × ... × (aₖ+1)。

特殊情況

質數

如果輸入是質數，計算機會將其識別為質數。質數不能再被分解——它們已經是其最簡形式。例子：2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29...

質數的冪

像 8 (2³), 27 (3³), 125 (5³) 和 256 (2⁸) 這樣的數字是單個質數的冪。他們的分解只包含一個唯一的質因數。

完全平方數

完全平方數的質因數分解中所有的指數都是偶數。例如，36 = 2² × 3² 和 144 = 2⁴ × 3²。

高合成數

相對於其大小，有些數字擁有許多因數。例如，60 有 12 個因數，這使其在度量衡系統（60 秒，60 分鐘）中非常有用。

質因數分解的應用

化簡分數

要將分數化為最簡形式，請使用質因數分解找到分子和分母的最大公因數（GCD），然後將兩者都除以最大公因數。

範例： 化簡 48/60
48 = 2⁴ × 3
60 = 2² × 3 × 5
最大公因數 (GCD) = 2² × 3 = 12
48/60 = (48÷12)/(60÷12) = 4/5

尋找最小公倍數 (LCM)

最小公倍數是通過提取在任何分解中出現的每個質數的最高次冪來找到的。

範例： 12 和 18 的最小公倍數 (LCM)
12 = 2² × 3
18 = 2 × 3²
最小公倍數 (LCM) = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

化簡根式

質因數分解有助於化簡平方根和其他根式。從根號下提取完全平方數。

範例： 化簡 √72
72 = 2³ × 3² = 2² × 2 × 3²
√72 = √(2² × 2 × 3²) = 2 × 3 × √2 = 6√2

密碼學

RSA 加密使用兩個大質數的乘積。安全性取決於對於足夠大的質數（數百位），分解這個乘極極其困難這一事實。

有趣的質數事實

孪生質數： 相差 2 的質數對，如 (3,5), (11,13), (17,19), (29,31)
梅森質數： 形式為 2ⁿ - 1 的質數，用於尋找完全數
已知的最大質數（截至 2024 年）擁有超過 2400 萬位數字
哥德巴赫猜想： 每個大於 2 的偶數都可以表示為兩個質數之和（尚未證明，但已通過巨量數字驗證）
質數定理： 隨著數字變大，質數變得越來越稀疏，但總會有更多的質數

應避免的常見錯誤

忘記 1 不是質數

根據定義，質數必須大於 1。數字 1 既不是質數也不是合數。

過早停止

確保繼續分解過程，直到所有因數都是質數。例如，30 = 2 × 15 是不完整的；您必須進一步分解 15 得到 2 × 3 × 5。

遺漏重複的因數

當一個質數多次整除一個數時，確保提取所有實例。例如，8 = 2 × 2 × 2，而不只是 2 × 4。

混淆因數與倍數

因數能整除一個數，而倍數是通過乘法獲得的。例如，12 的因數是 1, 2, 3, 4, 6, 12，而倍數是 12, 24, 36, 48...

常見問題解答

什麼是質因數分解？

質因數分解是將合數表示為質數乘積的過程。每個合數都可以唯一地表示為質因數的乘積。例如，60 = 2 × 2 × 3 × 5 或 2² × 3 × 5。

如何求一個數的質因數分解？

要求質因數分解，請用能整除該數的最小質數反覆除該數。從 2 開始，然後移動到 3, 5, 7 等等。繼續直到結果為 1。你使用的除數就是質因數。

什麼是質數？

質數是大於 1 的自然數，除了 1 和它本身外沒有其他正因數。例子包括 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 等。數字 2 是唯一的偶質數。

為什麼質因數分解很有用？

質因數分解是數論的基礎，在密碼學、尋找最大公因數（GCD）和最小公倍數（LCM）、化簡分數、求解丟番圖方程以及理解數字結構方面都有實際應用。

每個數字都能分解成質數嗎？

是的，根據算術基本定理，每個大於 1 的整數要么本身是質數，要么可以表示為唯一的質數乘積（不考慮因數的順序）。

1 是質數嗎？

不，1 不被視為質數。根據定義，質數必須恰好有兩個不同的正因數：1 和它本身。數字 1 只有一個因數（它本身），因此不符合定義。

質因數分解和因數分解有什麼區別？

一般的因數分解將數字分解為任何因數（可能是合數），而質因數分解專門將其僅分解為質因數。例如，12 可以分解為 3 × 4，但其質因數分解是 2² × 3。

這個計算機可以分解多大的數字？

此計算機可以處理高達 15 位的數字（999,999,999,999,999）。對於接近此限制的超大數字，計算可能需要一些時間，但會提供準確的結果。

額外資源

要了解更多關於質數和因數分解的資訊：

引用此內容、頁面或工具為：

"質數分解計算機" 於 https://MiniWebtool.com/zh-tw/質數分解計算機/，來自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/

由 miniwebtool 團隊開發。更新日期：2025年12月29日

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