角平分線計算機
計算三角形的角平分線。輸入三邊長或三個頂點座標,即可求得平分線長度、對邊分點、內心、內切圓半徑,並查看包含逐步公式的互動式圖表。
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角平分線計算機
角平分線計算機可計算任何三角形的角平分線。輸入三條邊的長度或三個頂點座標,計算機即可求出所有三條角平分線的長度、每條平分線與對邊的交點、內心、內切圓半徑,並顯示互動式圖表。所有計算過程均包含逐步 MathJax 公式。
角平分線公式
| 屬性 | 公式 | 說明 |
|---|---|---|
| 角平分線長度(自 A) | \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) | 從頂點 A 到邊 BC 的角平分線長度 |
| 替代公式 | \( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \) | 僅使用邊長,無需三角函數 |
| 角平分線定理 | \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \) | 角平分線對邊的分段比例 |
| 分線段 | \( BD = \frac{ac}{b+c} \) | 從頂點 B 到邊 BC 上分點 D 的長度 |
| 內心 | \( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \) | 使用對邊長度作為權重的頂點加權平均值 |
| 內切圓半徑 | \( r = \frac{K}{s} \) | 面積 K 除以半周長 s |
如何使用此計算機
- 選擇輸入模式:如果你已知 a、b、c,請選擇「三邊長」;如果你有座標,請選擇「三頂點」。
- 輸入數值:輸入三個邊長或每個頂點的 (x, y) 座標。使用快速範例按鈕嘗試預設的三角形。
- 點擊計算:按下「計算角平分線」按鈕查看結果。
- 探索圖表:切換圖層(角平分線、分點、內切圓、角度弧線、標籤)以專注於特定屬性。
- 查看公式:向下滾動到逐步解題過程,查看代入數值後的每個公式。
理解角平分線定理
角平分線定理是三角形幾何中的基本結果之一。它指出,如果一條射線平分三角形的一個角,那麼它將對邊分成兩條線段,這兩條線段的比等於另外兩條邊的比。具體來說,如果來自頂點 A 的平分線與邊 BC 交於點 D,則 BD/DC = AB/AC = c/b。
此定理有許多實際應用:它用於三角形作圖、證明內切圓的性質以及座標幾何問題。角平分線長度公式 \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) 可以透過對平分線創建的兩個子三角形應用餘弦定理來推導出來。
角平分線的性質
- 每個三角形正好有三條內角平分線。
- 所有三條角平分線總是交於一個點,稱為內心。
- 內心總是位於三角形內部,無論三角形是什麼類型。
- 內心到三條邊的距離相等,該距離即為內切圓半徑。
- 在等邊三角形中,每條角平分線同時也是中線、高和垂直平分線。
- 最長的角平分線總是來自角度最小的頂點。
- 角平分線長度始終小於或等於兩相鄰邊的幾何平均數。
常見問題
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由 MiniWebtool 團隊製作。更新日期:2026-04-03
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