角平分线计算器
在 MiniWebtool 的角平分线计算器中输入三条边或三个顶点坐标，即可计算三角形的角平分线。结果包括角平分线长度、与对边的分点、内心和内切圆半径，并附有交互图示和逐步公式。
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在下方输入三边长或三个顶点的坐标，即可得到三条角平分线的长度，以及每条角平分线与对边的交点位置，并附步骤。
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角平分线计算器
角平分线计算器可以计算任何三角形的角平分线。输入三条边长或三个顶点坐标，计算器将计算出所有三条平分线的长度、每条平分线与对边的交点、内心、内切圆半径，并显示交互式图表。所有计算均包含逐步的 MathJax 公式。
功能概览
角平分线计算器根据三角形的边长或顶点坐标求出三条角平分线。它还给出分割点、内心和内切圆半径，并附可交互图示。
| 功能 | 具体内容 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 两种输入方式 | 输入三条边长 a、b、c，或三个顶点的 x、y 坐标。 | 给出边长或坐标的三角形 |
| 角平分线长度 | 给出三条角平分线的长度，使用 t_a = 2bc cos(A/2) / (b + c)，或仅用边长的等价公式。 | 几何作业和作图题 |
| 分割点 | 显示每条角平分线与对边的交点，依据角平分线定理 BD/DC = c/b。 | 定位每条角平分线的垂足 |
| 内心与内切圆半径 | 给出内心（顶点按边长加权的平均值）以及内切圆半径 r = 面积 / 半周长。 | 求内切圆的圆心和大小 |
| 交互图示 | 可切换角平分线、分割点、内切圆、角弧和标签。 | 一次专注于一个性质 |
| 预设三角形 | 快速按钮可载入等边、直角 3-4-5、等腰 5-5-8、钝角 3-4-6 以及不等边的示例。 | 用一个已知三角形试用工具 |
角平分线公式
| 性质 | 公式 | 描述 |
|---|---|---|
| 平分线长度（从 A） | \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) | 从顶点 A 到边 BC 的角平分线长度 |
| 备选公式 | \( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \) | 仅使用边长，无需三角函数 |
| 角平分线定理 | \( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \) | 平分线对边的分段比例 |
| 分段长度 | \( BD = \frac{ac}{b+c} \) | 从顶点 B 到对边分点 D 的长度 |
| 内心 | \( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \) | 使用对边长度作为权重的顶点加权平均值 |
| 内切圆半径 | \( r = \frac{K}{s} \) | 面积 K 除以半周长 s |
如何使用此计算器
- 选择输入模式： 如果已知 a, b, c，请选择“三边”；如果有坐标，请选择“三顶点”。
- 输入数值： 输入三条边长或每个顶点的 (x, y) 坐标。使用快速示例按钮可以尝试预设的三角形。
- 点击计算： 按下“计算角平分线”按钮以查看结果。
- 探索图表： 切换图层（角平分线、分点、内切圆、角度圆弧、标签）以关注特定属性。
- 查看公式： 向下滚动到逐步解题过程，查看带入数值的每个公式。
理解角平分线定理
角平分线定理是三角形几何学中的基本结论之一。它指出，如果一条射线平分三角形的一个角，那么它将对边分成两条与另外两条边成比例的线段。具体而言，如果从顶点 A 出发的平分线交边 BC 于点 D，则 BD/DC = AB/AC = c/b。
该定理有许多实际应用：它用于三角形作图、证明内切圆的性质以及解决解析几何问题。角平分线长度公式 \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) 可以通过对平分线创建的两个子三角形应用余弦定理推导出来。
角平分线的性质
- 每个三角形恰好有三条内角平分线。
- 所有三条角平分线总是交于一点，称为内心。
- 内心始终位于三角形内部，无论三角形是什么类型。
- 内心到三条边的距离相等，该距离即为内切圆半径。
- 在等边三角形中，每条角平分线同时也是中线、高线和垂直平分线。
- 最长的角平分线总是来自角度最小的顶点。
- 角平分线长度总是小于或等于两条邻边的几何平均值。
常见问题解答
引用此内容、页面或工具为：
"角平分线计算器" 于 https://MiniWebtool.com/zh-cn/角平分线计算器/，来自 MiniWebtool，https://MiniWebtool.com/
由 MiniWebtool 团队制作。更新日期：2026-04-03
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