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Calculadora de Bissetriz do Ângulo

Calcule as bissetrizes dos ângulos de um triângulo. Insira três lados ou coordenadas de três vértices para encontrar comprimentos de bissetrizes, pontos de divisão nos lados opostos, incentro, inraio e veja um diagrama interativo com fórmulas passo a passo.

Calculadora de Bissetriz do Ângulo
Exemplos:
PRÉ-VISUALIZAÇÃO EM TEMPO REAL
Oposto ao vértice A
Oposto ao vértice B
Oposto ao vértice C
Exemplos:
PRÉ-VISUALIZAÇÃO EM TEMPO REAL
Vértice A
Vértice B
Vértice C

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Calculadora de Bissetriz do Ângulo

A Calculadora de Bissetriz do Ângulo computa as bissetrizes de qualquer triângulo. Insira três comprimentos de lado ou três coordenadas de vértice, e a calculadora encontrará todos os três comprimentos de bissetriz, os pontos onde cada bissetriz encontra o lado oposto, o incentro, o inraio e exibirá um diagrama interativo. Todos os cálculos incluem fórmulas MathJax passo a passo.

∠
Bissetriz do Ângulo
Um segmento de um vértice ao lado oposto que divide o ângulo em duas metades iguais.
◉
Incentro
O ponto onde todas as três bissetrizes de ângulo se encontram. É o centro da circunferência inscrita.
⊙
Inraio
O raio da circunferência inscrita, igual à área dividida pelo semi-perímetro: r = K/s.
⚖
Teorema da Bissetriz
A bissetriz de A divide o lado BC na proporção AB:AC = c:b (proporcional aos lados adjacentes).

Fórmulas de Bissetriz do Ângulo

PropriedadeFórmulaDescrição
Comprimento da Bissetriz (de A)\( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \)Comprimento da bissetriz do ângulo do vértice A ao lado BC
Fórmula Alternativa\( t_a = \frac{\sqrt{bc[(b+c)^2 - a^2]}}{b+c} \)Usa apenas comprimentos de lado, sem necessidade de trigonometria
Teorema da Bissetriz\( \frac{BD}{DC} = \frac{c}{b} = \frac{AB}{AC} \)Razão de divisão do lado oposto pela bissetriz
Segmento de Divisão\( BD = \frac{ac}{b+c} \)Comprimento de B ao ponto de divisão D em BC
Incentro\( I = \frac{a \cdot A + b \cdot B + c \cdot C}{a+b+c} \)Média ponderada dos vértices usando os comprimentos dos lados opostos
Inraio\( r = \frac{K}{s} \)Área K dividida pelo semi-perímetro s

Como usar esta calculadora

  1. Escolha o modo de entrada: Selecione "Três Lados" se souber a, b, c, ou "Três Vértices" se tiver as coordenadas.
  2. Insira os valores: Digite os três comprimentos dos lados ou as coordenadas (x, y) de cada vértice. Use os botões de exemplo rápido para testar triângulos pré-definidos.
  3. Clique em Calcular: Pressione o botão "Calcular Bissetrizes dos Ângulos" para ver os resultados.
  4. Explore o diagrama: Alterne as camadas (bissetrizes, pontos de divisão, incírculo, arcos de ângulo, rótulos) para focar em propriedades específicas.
  5. Revise as fórmulas: Role para baixo até a solução passo a passo para ver cada fórmula com os valores substituídos.

Entendendo o Teorema da Bissetriz Interna

O Teorema da Bissetriz Interna é um dos resultados fundamentais na geometria do triângulo. Ele afirma que se uma semirreta bissecciona um ângulo de um triângulo, então ela divide o lado oposto em dois segmentos que são proporcionais aos outros dois lados. Especificamente, se a bissetriz do vértice A encontra o lado BC no ponto D, então BD/DC = AB/AC = c/b.

Este teorema possui muitas aplicações práticas: é usado na construção de triângulos, na prova de propriedades do incírculo e em problemas de geometria analítica. A fórmula do comprimento da bissetriz do ângulo \( t_a = \frac{2bc \cos(A/2)}{b+c} \) pode ser derivada aplicando a lei dos cossenos aos dois sub-triângulos criados pela bissetriz.

Propriedades das Bissetrizes de Ângulo

Perguntas Frequentes

O que é uma bissetriz de um ângulo de um triângulo?
Uma bissetriz de ângulo é um segmento de reta que parte de um vértice até o lado oposto, dividindo o ângulo do vértice em duas metades iguais. Todo triângulo tem três bissetrizes de ângulo, e todas elas se encontram em um único ponto chamado incentro, que é o centro da circunferência inscrita (incírculo).
Como calcular o comprimento de uma bissetriz de ângulo?
O comprimento da bissetriz do ângulo do vértice A ao lado BC é dado pela fórmula: ta = (2bc × cos(A/2)) / (b + c), onde b e c são os lados adjacentes ao ângulo A. Uma fórmula alternativa que utiliza apenas os comprimentos dos lados é: ta = √(bc[(b+c)² − a²]) / (b + c).
O que é o teorema da bissetriz interna?
O teorema da bissetriz interna afirma que uma bissetriz de um ângulo de um triângulo divide o lado oposto em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes. Para a bissetriz de A até o lado BC no ponto D: BD/DC = AB/AC = c/b. Este é um teorema fundamental usado em muitas demonstrações e construções geométricas.
Onde as três bissetrizes dos ângulos de um triângulo se encontram?
As três bissetrizes dos ângulos de um triângulo sempre se encontram em um único ponto chamado incentro, denotado por I. O incentro é o centro da circunferência inscrita (incírculo) e está sempre localizado dentro do triângulo, seja ele acutângulo, retângulo ou obtusângulo.
Qual a diferença entre bissetriz de ângulo e mediatriz?
Uma bissetriz de ângulo divide um ângulo em duas partes iguais e vai de um vértice ao lado oposto. Uma mediatriz divide um lado em duas partes iguais em um ângulo de 90°. As três bissetrizes de ângulo se encontram no incentro (centro da circunferência inscrita), enquanto as três mediatrizes se encontram no circuncentro (centro da circunferência circunscrita).

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pela equipe MiniWebtool. Atualizado em: 2026-04-03

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