三次方程求解器

三次方程求解器

三次方程求解器可找出任何形式為 ax³ + bx² + cx + d = 0 的三次方程的所有三個根。輸入四個係數即可獲得即時結果，包含使用 Cardano 方法、判別式分析、因式分解形式、韋達關係以及互動式圖表的逐步解法。

如何使用三次方程求解器

1. 輸入係數：輸入三次方程 ax³ + bx² + cx + d = 0 的 a、b、c 和 d 值。係數 a 必須不為零。
2. 點擊「求解三次方程」以計算所有三個根。
3. 查看根：每個根都顯示有一個標籤，說明它是實數還是複數。實根顯示在綠色卡片中，複根顯示在藍色卡片中。
4. 學習逐步解法：跟隨完整的 Cardano 方法推導，包括簡化三次方程轉換、判別式計算和根提取。
5. 探索圖表：查看繪製的三次函數，實根以綠色標出，反曲點以橘色標出。

什麼是三次方程？

三次方程是次數為三的多項式方程：

\(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\)

其中 \(a \neq 0\)。根據代數基本定理，每個三次方程恰好有三個根（計入重根），這些根可以是實數或複數。

Cardano 公式

由 Gerolamo Cardano 於 1545 年發表（儘管更早由 Scipione del Ferro 和 Niccolo Tartaglia 發現），此方法透過以下步驟運作：

1. 簡化三次方程：代入 \(x = t - \frac{b}{3a}\) 以消除 \(x^2\) 項，得到 \(t^3 + pt + q = 0\)
2. 計算 p 和 q：\(p = \frac{3ac - b^2}{3a^2}\)，\(q = \frac{2b^3 - 9abc + 27a^2d}{27a^3}\)
3. 套用公式：\(t = \sqrt[3]{-\frac{q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt[3]{-\frac{q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}\)

判別式

判別式 \(\Delta = -4p^3 - 27q^2\) 決定了根的性質：

• \(\Delta > 0\)：三個相異實根（使用三角函數/韋達方法）
• \(\Delta = 0\)：至少兩個相等的根（存在重根）
• \(\Delta < 0\)：一個實根和兩個共軛複根

三次方程的韋達定理

如果 \(x_1, x_2, x_3\) 是 \(ax^3 + bx^2 + cx + d = 0\) 的三個根，則：

• \(x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}\)（根之和）
• \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = \frac{c}{a}\)（兩兩乘積之和）
• \(x_1 x_2 x_3 = -\frac{d}{a}\)（根之積）

特殊情況

• 簡化三次方程 (\(b = 0\))：\(x^3 + cx + d = 0\) — 已經是簡化形式
• 純三次方程 (\(b = c = 0\))：\(ax^3 + d = 0\) — 根為 \(x = \sqrt[3]{-d/a}\)
• 立方和/差：\(x^3 \pm k^3 = (x \pm k)(x^2 \mp kx + k^2)\)

三次方程的應用

• 工程學：樑的撓度、應力分析和控制系統
• 物理學：Kepler 方程、狀態方程 (van der Waals)
• 經濟學：成本最佳化、供需平衡模型
• 電腦圖形學：Bezier 曲線、樣條插值 (spline interpolation)
• 化學：涉及弱酸/弱鹼的 pH 值計算

常見問題 (FAQ)

什麼是三次方程？

三次方程是次數為 3 的多項式方程，寫作 ax³ + bx² + cx + d = 0，其中 a 不為零。每個三次方程恰好有三個根，這些根可以是實數或複數。

Cardano 公式是如何運作的？

Cardano 公式求解三次方程的方法是先透過代換將方程簡化為簡化三次方程（不含 x² 項），然後應用涉及立方根的公式。簡化三次方程 t³ + pt + q = 0 使用 t = cube_root(-q/2 + sqrt(q²/4 + p³/27)) + cube_root(-q/2 - sqrt(q²/4 + p³/27)) 求解。

三次方程的判別式能告訴你什麼？

判別式決定了根的性質。如果是正數，則有三個相異實根。如果是零，則有重根。如果是負數，則有一個實根和兩個共軛複根。

三次方程可以全部都是複數根嗎？

不可以。每個具有實係數的三次方程至少有一個實根。複數根總是成對出現的共軛複根，因此三次方程要麼有三個實根，要麼有一個實根和兩個共軛複根。

什麼是三次方程的韋達定理？

韋達定理將根與係數聯繫起來。對於根為 r1, r2, r3 的 ax³ + bx² + cx + d = 0：根之和等於 -b/a，兩兩乘積之和等於 c/a，所有根之積等於 -d/a。

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