เครื่องคำนวณสนามไฟฟ้า

เครื่องคำนวณสนามไฟฟ้า ทำหน้าที่คำนวณความเข้มของสนามไฟฟ้าที่เกิดจากประจุจุดเพียงตัวเดียวหรือหลายตัว โดยใช้สูตร \( E = k_{e}\,q / (\varepsilon_{r}\, r^{2}) \) สำหรับกรณีประจุต้นกำเนิดเดี่ยว และใช้หลักการ ซ้อนทับเชิงเวกเตอร์ อย่างเต็มรูปแบบ \( \vec{E}_{\text{net}} = \sum_{i} \vec{E}_{i} \) สำหรับโจทย์ที่มีหลายประจุ คุณสามารถสลับไปมาระหว่าง โหมดประจุเดี่ยว (คำนวณหา E, q หรือ r ได้ในฟอร์มเดียว) และ โหมดหลายประจุ (วางตำแหน่งประจุได้สูงสุดหกตัวบนระนาบ 2D เพื่อวัดค่าสนามลัพธ์สุทธิ ณ จุดทดสอบ P ใดๆ) กรอกค่าประจุไฟฟ้าในหน่วยคูลอมบ์, ไมโครคูลอมบ์, นาโนคูลอมบ์ หรือประจุมูลฐาน e เครื่องคำนวณจะส่งคืนค่าขนาดของสนามไฟฟ้าในหน่วย V/m และ N/C, ค่าส่วนประกอบย่อย Eₓ และ Eᵧ, มุมทิศทาง θ, ศักย์ไฟฟ้า V ที่จุดทดสอบ, แรงที่กระทำต่อประจุทดสอบขนาด 1 µC รวมถึงการแสดงวิธีทำทีละขั้นตอนด้วย LaTeX นอกจากนี้ยังมีภาพ SVG แบบสดที่จะคอยวาดรูปทรงกลมแทนประจุ (สีแดงสำหรับ +, สีน้ำเงินสำหรับ −), ลูกศรแสดงเวกเตอร์ย่อยของแต่ละประจุ และเวกเตอร์สนามลัพธ์สุทธิให้คุณเห็นโดยอัตโนมัติในขณะที่คุณกำลังพิมพ์ข้อมูล

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณสนามไฟฟ้า นี้

1. เลือกโหมดการทำงานที่ด้านบน ประจุจุดเดี่ยว จะใช้สูตรคำนวณสำเร็จรูป \( E = kq/r^{2} \) ส่วน การซ้อนทับของหลายประจุ จะช่วยให้คุณวางประจุได้สูงสุดหกตัวบนระนาบ 2D และอ่านค่าเวกเตอร์สนามสุทธิ ณ จุดทดสอบที่ต้องการ
2. ในโหมดประจุเดี่ยว ให้เลือกสิ่งที่คุณต้องการคำนวณหา (E, q หรือ r) — ช่องกรอกข้อมูลที่ตรงกับตัวแปรนั้นจะซ่อนตัวเองโดยอัตโนมัติ เพื่อไม่ให้เงื่อนไขขัดกันโดยอุบัติเหตุ จากนั้นกรอกข้อมูลในช่องที่เหลืออีกสองช่องพร้อมหน่วยที่คุณต้องการ
3. ในโหมดหลายประจุ ให้กรอกข้อมูลแถวละหนึ่งประจุต้นกำเนิด (ประกอบด้วย ค่าประจุ + หน่วย + พิกัด x + พิกัด y) โดยเว้นแถวว่างไว้สำหรับประจุที่ไม่ได้ใช้งาน (กรอกได้สูงสุดหกประจุ) จากนั้นระบุพิกัดของจุดทดสอบ (x, y) และหน่วยพิกัดที่จะใช้ร่วมกัน
4. เลือกตัวกลางโดยรอบ สูญญากาศและอากาศจะไม่ทำให้สนามไฟฟ้าเปลี่ยนแปลง ส่วนน้ำที่มีค่า εᵣ ≈ 80 จะกำบังสนามไฟฟ้าให้ลดลงประมาณสองอันดับของขนาด (80 เท่า) เลือก สภาพอนุญาตสัมพัทธ์กำหนดเอง หากต้องการระบุค่าตัวกลางไดอิเล็กทริกอื่นๆ เอง
5. กดปุ่ม คำนวณ เพื่ออ่านค่าขนาดของสนามไฟฟ้า, ทิศทาง, ผลรวมย่อยของแต่ละประจุ, วิธีทำทีละขั้นตอน และแผนภาพจำลองเส้นแรงไฟฟ้า / การซ้อนทับที่เคลื่อนไหวได้

สิ่งที่ทำให้เครื่องคำนวณนี้แตกต่าง

สรุปสูตรในบรรทัดเดียว

สำหรับประจุจุดเดี่ยวที่มีค่าประจุเท่ากับ \( q \) ที่ระยะห่าง \( r \) ภายในตัวกลางที่มีค่าสภาพอนุญาตสัมพัทธ์ \( \varepsilon_{r} \) ขนาดของสนามไฟฟ้าจะมีค่าเท่ากับ

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

โดยที่ \( k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² คือค่าคงตัวของคูลอมบ์ สนามไฟฟ้าเป็นปริมาณเวกเตอร์ที่มีทิศทาง พุ่งออกตามแนวรัศมี จากประจุแหล่งกำเนิดที่เป็นบวก และมีทิศทาง พุ่งเข้าตามแนวรัศมี ไปยังประจุแหล่งกำเนิดที่เป็นลบ — ซึ่งก็คือทิศทางเดียวกับที่ประจุทดสอบที่เป็นบวกจะถูกผลัก (หรือดึงดูด) นั่นเอง

สำหรับกรณีที่มีประจุหลายตัว ตามหลักการ ซ้อนทับ สนามไฟฟ้ารวมที่จุดใดๆ จะเท่ากับผลรวมแบบเวกเตอร์ของสนามย่อยที่เกิดจากแต่ละประจุ ดังนี้:

\[ \vec{E}_{\text{net}}(\vec{r}) \;=\; \sum_{i} k_{e}\,\dfrac{q_{i}}{\varepsilon_{r}\,|\vec{r}-\vec{r}_{i}|^{2}}\,\hat{r}_{i} \]

เครื่องคำนวณจะคำนวณค่า \( \vec{E}_{i} \) ของแต่ละประจุแยกกัน จากนั้นแตกแรงออกเป็นส่วนประกอบแกน Eₓ และ Eᵧ รวมค่าแยกตามแกน แล้วจึงคำนวณหาขนาดลัพธ์จากสูตร \(|E| = \sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) และคำนวณหาทิศทางจากสูตร \( \theta = \arctan(E_{y}/E_{x}) \)

ตัวอย่างโจทย์แสดงวิธีทำ: ประจุ 1 µC ที่ระยะ 10 cm

• \( E = (8.9875 \times 10^{9}) \times (1 \times 10^{-6}) / (0.10)^{2} \approx 8.99 \times 10^{5}\) V/m — หรือคิดเป็นประมาณ 900 kV/m
• สนามไฟฟ้ามีทิศพุ่งออกจากประจุบวก หากนำอิเล็กตรอนอิสระไปวางไว้ที่ตำแหน่งนั้น อิเล็กตรอนจะได้รับแรงกระทำ \( F = qE \approx 1.44 \times 10^{-13}\) N ชี้เข้าหาประจุต้นกำเนิด
• ศักย์ไฟฟ้าที่ระยะห่างนี้: \( V = kq/r \approx 89.9\) kV — ซึ่งช่วยอธิบายว่าทำไมแม้กระทั่งตัวนำที่มีไฟฟ้าสถิตเพียงเล็กน้อยก็สามารถทำให้คุณรู้สึกสะดุ้งเมื่อสัมผัสได้

ตัวอย่างโจทย์แสดงวิธีทำ: ขั้วคู่ไฟฟ้า (Electric Dipole)

วางประจุ \(+1\) µC ไว้ที่พิกัด \((-2\) cm, 0) และประจุ \(-1\) µC ไว้ที่พิกัด \((+2\) cm, 0) โดยมีจุดทดสอบอยู่ที่ จุดกึ่งกลาง ของขั้วคู่ไฟฟ้าพอดี แต่อยู่เหนือแกนขึ้นไปเล็กน้อยที่พิกัด \((0, 1\) cm)\)

• ระยะห่างจากประจุแต่ละตัวไปยังจุด P: \( r = \sqrt{2^{2}+1^{2}}\) cm \(= \sqrt{5}\) cm ≈ 2.24 cm
• สนามไฟฟ้าย่อยที่เกิดจากแต่ละประจุจะมีขนาดเท่ากับ \( |E_{i}| = kq/r^{2} \approx 1.8 \times 10^{7}\) V/m
• ส่วนประกอบในแนวแกน y จะหักล้างกันไปเนื่องจากความสมมาตร ส่วนประกอบในแนวแกน x จะรวมกันในทิศทาง −x (พุ่งเข้าหาประจุลบ) ส่งผลให้สนามไฟฟ้ารวมชี้ในแนวนอนและมีขนาดประมาณ \( 2 \times |E_{i}| \cos\theta \) โดยที่ \(\cos\theta = 2/\sqrt{5}\)
• นี่คือลักษณะเฉพาะของ "สนามขั้วคู่ไฟฟ้า" ที่คุณจะได้พบเจออีกบ่อยครั้งเมื่อศึกษาเกี่ยวกับโมเลกุลมีขั้ว, สายอากาศ หรือเทคโนโลยี NMR

สนามไฟฟ้า vs แรงไฟฟ้า vs ศักย์ไฟฟ้า

ปริมาณทั้งสามนี้อธิบายถึงสิ่งที่มีความเกี่ยวข้องกันแต่มีความแตกต่างกัน ดังนี้:

• สนามไฟฟ้า \(\vec{E}\) (หน่วย V/m หรือ N/C) — คือแรงต่อหนึ่งหน่วยประจุทดสอบที่เป็นบวก ณ จุดใดจุดหนึ่ง มีอยู่จริงแม้ว่าตรงนั้นจะไม่มีประจุทดสอบมาวางอยู่ก็ตาม เป็นปริมาณเวกเตอร์
• แรงไฟฟ้า \(\vec{F} = q\vec{E}\) (หน่วย นิวตัน) — คือผลลัพธ์ของแรงที่เกิดขึ้นจริงกับประจุ \(q\) เมื่อคุณนำมันไปวางไว้ในสนามไฟฟ้านั้น เป็นปริมาณเวกเตอร์
• ศักย์ไฟฟ้า \(V\) (หน่วย โวลต์) — คือพลังงานหรืองานต่อหนึ่งหน่วยประจุทดสอบที่เป็นบวก ในการย้ายประจุจากระยะอนันต์มายังจุดนั้น เป็นปริมาณสเกลาร์ โดยค่าเกรเดียนต์ที่เป็นลบของศักย์ไฟฟ้าก็คือสนามไฟฟ้านั่นเอง: \(\vec{E} = -\nabla V\)

เครื่องคำนวณนี้จะรายงานค่าทั้งสามออกมาเพื่อให้คุณสามารถนำไปตรวจสอบความเข้าใจซ้ำได้ง่ายขึ้น

ขนาดของสนามไฟฟ้าที่พบได้ทั่วไป

เคล็ดลับสำหรับโจทย์คำนวณหลายประจุ

• ใช้ประโยชน์จากความสมมาตรก่อนเสมอ หากประจุถูกจัดวางอย่างสมมาตรรอบจุดทดสอบ ส่วนประกอบบางแกนจะหักล้างกันหมดไปเอง เครื่องคำนวณนี้จะช่วยยืนยันข้อเท็จจริงดังกล่าว — คุณจะเห็นว่าค่า Eₓ หรือ Eᵧ ถูกคำนวณออกมาเป็นศูนย์ (หรือใกล้เคียงศูนย์มาก)
• เลือกจุดทดสอบอย่างรอบคอบ การเลือกจุดทดสอบให้อยู่บนแกนสมมาตรจะช่วยลดความซับซ้อนของคณิตศาสตร์ลงไปได้มาก (และช่วยให้คุณตรวจสอบความถูกต้องของผลลัพธ์จากเครื่องคำนวณได้ง่ายขึ้นด้วย)
• ระวังเรื่องเครื่องหมาย ลูกศรแสดงแนวสนามของประจุบวกจะพุ่ง ออกจาก ประจุต้นกำเนิดไปยังจุดทดสอบ ส่วนประจุลบจะพุ่ง จาก จุดทดสอบเข้าหาประจุต้นกำเนิด หากจำสับสนจะทำให้ทิศทางรวมเพี้ยนไปจากเดิม 180°
• หน่วยของพิกัดเป็นหน่วยร่วมกัน ประจุทั้งหกตัวและจุดทดสอบจะใช้หน่วยพิกัดเดียวกันกับที่คุณเลือกไว้ที่ด้านล่างของส่วนหลายประจุ เพื่อให้โครงสร้างทางเรขาคณิตมีความสอดคล้องกัน

คำถามที่พบบ่อย (FAQ)

สูตรสำหรับคำนวณสนามไฟฟ้าของประจุจุดคืออะไร?
\( E = k_{e}\,q / r^{2} \) โดยที่ \(k_{e} \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² สนามไฟฟ้าจะมีทิศพุ่งออกจากประจุบวกและพุ่งเข้าหาประจุลบ

หน่วยของสนามไฟฟ้าคืออะไร?
หน่วยในระบบ SI คือ V/m (โวล์ตต่อเมตร) ซึ่งมีค่าเทียบเท่ากับ N/C (นิวตันต่อคูลอมบ์) เครื่องคำนวณรองรับทั้งสองหน่วยและแปลงค่าภายในให้โดยอัตโนมัติ

จะรวมสนามไฟฟ้าจากประจุหลายตัวได้อย่างไร?
ใช้หลักการซ้อนทับเวกเตอร์: คำนวณสนามย่อยของแต่ละประจุในรูปแบบเวกเตอร์ 2D รวมส่วนประกอบแกน x และแกน y แยกจากกัน แล้วจึงหาขนาดลัพธ์จากสูตร \(\sqrt{E_{x}^{2}+E_{y}^{2}}\) และหาทิศทางจาก \(\arctan(E_{y}/E_{x})\) ซึ่งโหมดหลายประจุของเครื่องคำนวณนี้จะดำเนินการให้โดยอัตโนมัติ

สนามไฟฟ้ากับแรงไฟฟ้าแตกต่างกันอย่างไร?
สนามไฟฟ้าอธิบายถึงอิทธิพลของประจุต้นกำเนิดที่แผ่ออกไปรอบๆ ตัวมันในอวกาศ ส่วนแรงไฟฟ้า \( F = qE \) คือสิ่งที่จะเกิดขึ้นเมื่อนำประจุอื่น (\(q\)) ไปวางไว้ในสนามนั้น สนามไฟฟ้ามีอยู่ทุกที่ แต่แรงจะปรากฏเฉพาะบนประจุที่นำไปวางอยู่จริงเท่านั้น

ตัวกลางที่อยู่ระหว่างประจุต้นกำเนิดทำให้สนามไฟฟ้าเปลี่ยนไปไหม?
ใช่ สนามไฟฟ้าจะถูกหารด้วยค่าสภาพอนุญาตสัมพัทธ์ εᵣ ของตัวกลางนั้น อากาศมีค่าประมาณ 1, น้ำมีค่าประมาณ 80 ประจุต้นกำเนิดเดียวกันจึงสร้างสนามไฟฟ้าในน้ำได้อ่อนลงประมาณ 80 เท่าเมื่อเทียบกับในสูญญากาศ — นี่คือเหตุผลว่าทำไมเกลือไอออนิกถึงละลายในน้ำได้ดีมาก

สนามไฟฟ้าที่ทำให้อากาศแห้งแตกตัวคือเท่าใด?
มีค่าประมาณ 3 × 10⁶ V/m (3 MV/m) สำหรับอากาศแห้งที่ระดับน้ำทะเล หากสูงกว่านี้อากาศจะแตกตัวเป็นไอออนจนเกิดประกายไฟสปาร์ก เครื่องคำนวณจะติดธงแจ้งเตือนหากผลลัพธ์สูงเกินเกณฑ์นี้

สามารถคำนวณหาค่าประจุต้นกำเนิดหรือระยะห่างได้ไหม?
ได้ — ในโหมดประจุเดี่ยวให้เลือกที่ช่อง คำนวณหา เครื่องคำนวณจะจัดรูปสมการ \( E = kq/r^{2} \) ให้อยู่ในรูปตัวแปรที่ต้องการ เช่น (\( q = E\varepsilon_{r}r^{2}/k \) หรือ \( r = \sqrt{kq/(\varepsilon_{r}E)} \)) พร้อมซ่อนช่องกรอกข้อมูลของตัวแปรนั้นให้โดยอัตโนมัติ

ทำไมสนามไฟฟ้ารวมของฉันถึงคำนวณออกมาเป็นศูนย์?
หากมีประจุสองตัวที่มีขนาดเท่ากันแต่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม วางอยู่ในตำแหน่งที่สมมาตรกันพอดีเมื่อเทียบกับจุดทดสอบ สนามย่อยของทั้งคู่จะหักล้างกันเองจนหมดสิ้น — เช่น สนามไฟฟ้าที่จุดกึ่งกลางเส้นตั้งฉากระหว่างขั้วคู่ไฟฟ้าจะมีค่าเป็นศูนย์ในแนวแกนนั้น นี่คือหลักการฟิสิกส์จริงไม่ใช่ความผิดพลาดของระบบคำนวณ ให้ลองเลื่อนจุดทดสอบออกจากระนาบสมมาตรเพื่อดูค่าสนามไฟฟ้าที่ไม่เป็นศูนย์