เครื่องคำนวณกฎของคูลอมบ์

เครื่องคำนวณกฎของคูลอมบ์ ใช้คำนวณหาแรงไฟฟ้าสถิตระหว่างประจุจุดสองประจุจากสูตร \( F = k_e \dfrac{q_{1} q_{2}}{\varepsilon_{r}\, r^{2}} \) เพียงเลือกตัวแปรที่ไม่ทราบค่า — ไม่ว่าจะเป็นแรง F, ประจุตัวใดตัวหนึ่ง หรือระยะห่าง r — และกรอกข้อมูลปริมาณอีกสามตัวที่เหลือในหน่วยทั่วไปใดก็ได้ (คูลอมบ์, ไมโครคูลอมบ์, พิโกคูลอมบ์, ประจุมูลฐาน e หรือแม้แต่หน่วย CGS สแตตคูลอมบ์) เครื่องคำนวณจะส่งคืนค่าขนาดของแรง ทิศทางการดึงดูดหรือผลักกัน (พร้อมลูกศรที่จะพลิกกลับด้านในรูปแบบ SVG แบบไลฟ์สด) ค่าสนามไฟฟ้า ณ ตำแหน่งของประจุที่สอง พลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิต อัตราส่วนระหว่างแรงคูลอมบ์ต่อแรงโน้มถ่วงอันน่าทึ่งซึ่งช่วยอธิบายว่าทำไมวิชาเคมีจึงขับเคลื่อนด้วยไฟฟ้า และการแสดงวิธีทำทีละขั้นตอนด้วย LaTeX นอกจากนี้ยังมีตัวเลือกตัวกลางไดอิเล็กทริกที่รองรับทั้งสุญญากาศ อากาศ น้ำ แก้ว ซิลิคอน และการกำหนดค่า εᵣ เองอย่างอิสระ เพื่อให้คุณสามารถจำลองลักษณะที่วัสดุโดยรอบทำหน้าที่กำบังหรือลดทอนแรงได้

วิธีใช้งาน เครื่องคำนวณกฎของคูลอมบ์ นี้

1. เลือกตัวแปรที่ไม่ทราบค่าในกล่องรายการเลือก คำนวณหาค่า — F, q₁, q₂ หรือ r ช่องป้อนข้อมูลที่ตรงกันจะซ่อนตัวเองโดยอัตโนมัติ และข้อมูลที่เหลืออีกสามช่องจะกลายเป็นข้อมูลที่จำเป็นต้องกรอก
2. กรอกประจุทั้งสองพร้อมเครื่องหมายของประจุ ระบบรองรับทั้งค่าบวกและค่าลบ และคุณสามารถผสมหน่วยที่แตกต่างกันได้ (เช่น q₁ ในหน่วยนาโนคูลอมบ์ และ q₂ ในหน่วยประจุมูลฐาน)
3. กรอกระยะห่าง r ในหน่วยใดก็ได้ที่รองรับ ตั้งแต่หน่วยพิโกเมตรและอังสตรอมสำหรับโจทย์ระดับอะตอม ไปจนถึงกิโลเมตรสำหรับตัวอย่างในเรื่องเมฆพายุ
4. เลือกตัวกลางโดยรอบ สุญญากาศและอากาศมีค่าเกือบจะเท่ากัน (εᵣ ≈ 1) ส่วนน้ำที่มีค่า εᵣ ≈ 80 จะช่วยลดทอนแรงลงไปเกือบสองอันดับของขนาด สำหรับไดอิเล็กทริกชนิดอื่นที่แปลกออกไป ให้เลือก กำหนดค่า εᵣ เอง แล้วพิมพ์ค่านั้นลงไป
5. กดปุ่ม คำนวณ แล้วอ่านผลลัพธ์ ภาพจำลองการดึงดูดหรือผลักกัน อัตราส่วน F_electric ⁄ F_gravity วิธีทำทีละขั้นตอน และบันทึกบริบทต่างๆ

สิ่งที่ทำให้เครื่องคำนวณนี้แตกต่าง

กฎของคูลอมบ์ในหนึ่งบรรทัด

ประจุจุดสองประจุ q₁ และ q₂ ที่ห่างกันเป็นระยะ r ในตัวกลางที่มีค่าสภาพอนุญาตสัมพัทธ์ εᵣ จะส่งแรงกระทำต่อกันโดยมีสูตรดังนี้

\[ F \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

โดยที่ค่าคงตัวของคูลอมบ์ \(k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C² หากผลคูณของ \(q_{1}\,q_{2}\) เป็นบวก แรงนั้นจะเป็นแรงผลัก (ดันประจุให้ออกจากกันตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างกัน) หากผลคูณเป็นลบ แรงนั้นจะเป็นแรงดึงดูด แรงที่กระทำต่อประจุแต่ละตัวจะมีขนาดเท่ากัน — ตามกฎข้อที่สามของนิวตัน

สนามไฟฟ้าที่เกี่ยวข้องของ q₁ ณ ตำแหน่งของ q₂ คือ

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

และพลังงานศักย์ไฟฟ้าสถิตที่สะสมอยู่ในการจัดเรียงนี้คือ

\[ U \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r} \]

ค่า U จะเป็นบวกสำหรับคู่ประจุที่มีเครื่องหมายเหมือนกัน (ต้องใส่พลังงานเข้าไปเพื่อดึงพวกมันให้เข้าใกล้กัน) และเป็นลบสำหรับคู่ประจุที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม (พลังงานจะถูกปล่อยออกมาเมื่อพวกมันเข้าใกล้กัน)

ตัวอย่างโจทย์: อะตอมไฮโดรเจน

พิจารณาคู่ของอิเล็กตรอน–โปรตอนภายในอะตอมไฮโดรเจนที่สถานะพื้น ซึ่งห่างกันด้วยรัศมีของโบร์ \(r \approx 5.29 \times 10^{-11}\) ม.

• \( F = (8.9875 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})(1.6 \times 10^{-19}) / (5.29 \times 10^{-11})^{2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\) N — หรือประมาณ 82 นานอนิวตัน
• แรงดึงดูดระหว่างมวลของคู่เดียวกันนี้: \( F_{g} = G\,m_{e}\,m_{p}/r^{2} \approx 3.6 \times 10^{-47}\) N
• อัตราส่วน: \( F/F_{g} \approx 2.3 \times 10^{39} \) แรงแม่เหล็กไฟฟ้านั้นแรงกว่าแรงโน้มถ่วงประมาณ ~10³⁹ เท่าในทุกๆ สเกลที่แรงทั้งสองนี้ทำงานร่วมกัน — นี่คือเหตุผลว่าทำไมอะตอมจึงคงอยู่ได้และก้อนหินไม่แตกสลายออกจากกัน

ตัวอย่างโจทย์: ทรงกลมที่มีประจุสองลูก

ทรงกลมตัวนำขนาดเล็กสองลูก แต่ละลูกมีประจุ +5 µC และวางอยู่ห่างกัน 1 ม. ในอากาศ

• \( F = k\,q_{1}\,q_{2}/r^{2} = (8.9875 \times 10^{9})(5 \times 10^{-6})^{2} / 1^{2} \approx 0.225\) N — ซึ่งใกล้เคียงกับน้ำหนักของคลิปหนีบกระดาษตัวหนึ่ง
• แรงนี้เป็นแรงผลักเนื่องจากประจุทั้งสองเป็นบวก ดังนั้นทรงกลมจะดันออกจากกันตามแนวเส้นตรงที่เชื่อมระหว่างกัน
• สนามไฟฟ้าที่ทรงกลมลูกหนึ่งสร้างขึ้น ณ จุดศูนย์กลางของทรงกลมอีกลูกหนึ่งคือ \( E = kq/r^{2} \approx 44 950\) V/m — เป็นสนามไฟฟ้าที่แรง แต่ยังต่ำกว่าจุดแตกสลายของอากาศแห้งซึ่งอยู่ที่ประมาณ 3 × 10⁶ V/m มาก

ประจุเท่าเดิม ตัวกลางเปลี่ยนไป: พันธะไอออนิกในน้ำ

ไอออน Na⁺ และ Cl⁻ อยู่ห่างกันที่ระยะความยาวพันธะมาตรฐานของ NaCl \(r \approx 2.82\) อังสตรอม

• ใน สุญญากาศ: \( F \approx 2.9 \times 10^{-9}\) N — แรงดึงดูดระดับอะตอมที่แข็งแกร่งซึ่งมีค่าเท่ากับพลังงานศักย์หลายอิเล็กตรอนโวลต์
• ใน น้ำ (εᵣ ≈ 80.4): รูปทรงเรขาคณิตแบบเดียวกันจะให้ค่าแรง \( F \approx 3.6 \times 10^{-11}\) N — หรือ อ่อนลงประมาณ 80 เท่า การกำบังของไดอิเล็กทริกนั้นมากพอที่จะทำให้การเคลื่อนที่เนื่องจากความร้อน (kT ≈ 25 meV ที่ 25 °C) สามารถทำลายพันธะได้ ซึ่งเป็นเหตุผลที่เกลือไอออนิกละลายในน้ำได้ง่ายมากนั่นเอง

แรงสู่ศูนย์กลาง vs แรงหนีศูนย์กลาง vs แรงคูลอมบ์

แรงคูลอมบ์คือหนึ่งในสี่แรงที่แท้จริงในธรรมชาติที่ดึงเข้าสู่ศูนย์กลาง (หรือผลักออก) เมื่อคุณนำอนุภาคที่มีประจุไปวิ่งในเส้นทางวงกลม (เช่น ในเครื่องเร่งอนุภาค หรืออิเล็กตรอนในวงโคจรของอะตอมตามภาพกึ่งคลาสสิก) แรงคูลอมบ์จะทำหน้าที่เป็นแรงสู่ศูนย์กลางที่เบนวิถีให้โค้งเป็นวงกลม ในทางตรงกันข้าม ความรู้สึกของ \"แรงหนีศูนย์กลาง\" เป็นเพียงแรงเทียมที่เกิดขึ้นในกรอบอ้างอิงที่กำลังหมุนเท่านั้น — แรงดึงเข้าด้านในที่แท้จริงก็ยังคงเป็นแรงของคูลอมบ์

ที่มาที่แท้จริงของแรง: ตัวอย่างทางกายภาพ

ทำไมค่า εᵣ < 1 จึงไม่ได้รับอนุญาต

สุญญากาศมีค่าสภาพอนุญาตที่เล็กที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ วัสดุต่างๆ ทำได้เพียงแค่ ลดทอน แรงคูลอมบ์ลงโดยการจัดเรียงประจุที่ถูกยึดเหนี่ยวเพื่อไปหักล้างสนามแม่เหล็กไฟฟ้าต้นทางบางส่วน — วัสดุไม่สามารถเพิ่มความแรงของแรงที่ความถี่สถิตได้ ด้วยเหตุนี้เครื่องคำนวณจึงกำหนดให้ค่า εᵣ ≥ 1 การกรอกค่าที่น้อยกว่านี้จะทำให้เกิดข้อผิดพลาดในการตรวจสอบความถูกต้อง สำหรับปัญหาเรื่องความถี่สูงหรือปัญหาการกระจายตัวที่ผิดปกติซึ่งอาจปรากฏค่า εᵣ < 1 ได้นั้น กฎของคูลอมบ์ในรูปแบบที่เรียบง่ายนี้จะไม่สามารถนำมาประยุกต์ใช้ได้อีกต่อไป

คำถามที่พบบ่อย

สูตรกฎของคูลอมบ์คืออะไร?
F = k · q₁ · q₂ / r² โดยที่ k ≈ 8.9875 × 10⁹ N·m²/C² คือค่าคงตัวของคูลอมบ์ q₁ และ q₂ คือประจุในหน่วยคูลอมบ์ และ r คือระยะห่างในหน่วยเมตร ในตัวกลางที่ไม่ใช่สุญญากาศ ให้หารด้วยค่าสภาพอนุญาตสัมพัทธ์ εᵣ

จะทราบได้อย่างไรว่าแรงเป็นแรงดึงดูดหรือแรงผลัก?
คูณเครื่องหมายของประจุทั้งสองเข้าด้วยกัน ประจุเครื่องหมายเหมือนกัน (เป็น + ทั้งคู่ หรือเป็น − ทั้งคู่) จะผลักกัน ประจุเครื่องหมายต่างกันจะดึงดูดกัน เครื่องคำนวณจะแสดงทิศทางโดยตรงด้วยลูกศรที่จะพลิกกลับด้านในรูปแบบ SVG แบบไลฟ์สด

ค่าคงตัวของคูลอมบ์คืออะไร?
k = 1 / (4π ε₀) ≈ 8.9875517873681764 × 10⁹ N·m²/C² โดยที่ ε₀ คือค่าสภาพอนุญาตของสุญญากาศ ซึ่งมีค่าเท่ากับ 8.8541878128 × 10⁻¹² F/m

หนึ่งประจุมูลฐานมีค่ากี่คูลอมบ์?
e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C — เป็นค่าที่แน่นอนตั้งแต่มีการกำหนดนิยามใหม่ของระบบ SI ในปี 2019 โปรตอนมีประจุ +1 e และอิเล็กตรอนมีประจุ −1 e

ตัวกลางระหว่างประจุทำให้แรงเปลี่ยนไปหรือไม่?
เปลี่ยน แรงจะถูกหารด้วยค่าสภาพอนุญาตสัมพัทธ์ εᵣ ของตัวกลาง สุญญากาศมีค่า εᵣ = 1 น้ำมีค่า εᵣ ≈ 80 — ดังนั้นแรงไอออนิกในน้ำจึงอ่อนกว่าในสุญญากาศประมาณ 80 เท่า ณ ระยะห่างที่เท่ากัน

ทำไมแรงไฟฟ้าสถิตจึงแรงกว่าแรงโน้มถ่วงมาก?
สำหรับคู่โปรตอน–อิเล็กตรอน แรงดึงดูดของคูลอมบ์จะแรงกว่าแรงโน้มถ่วงร่วมของพวกมันประมาณ 2.3 × 10³⁹ เท่า ณ ระยะห่างใดๆ — เนื่องจากค่าคงตัวการจับคู่ทางแม่เหล็กไฟฟ้านั้นใหญ่กว่าค่าคงตัวทางแรงโน้มถ่วงอย่างมหาศาล เครื่องคำนวณจะรายงานอัตราส่วนนี้ให้ทราบอย่างชัดเจน

สามารถคำนวณหาระยะห่าง r แทนการหาแรงได้ไหม?
ได้ เพียงตั้งค่า คำนวณหาค่า เป็น \"ระยะห่าง r\" แล้วเครื่องคำนวณจะปรับสูตรใหม่เป็น r = √( k · q₁ · q₂ / (εᵣ · F) ) จากนั้นช่องข้อมูลของ r จะซ่อนตัวเองโดยอัตโนมัติ

สามารถกรอกค่าประจุในหน่วยประจุมูลฐาน e หรือหน่วย CGS สแตตคูลอมบ์ได้ไหม?
ได้ รายการเลือกหน่วยประจุรองรับหน่วยคูลอมบ์ มิลลิคูลอมบ์ ไปจนถึงเฟมโตคูลอมบ์ ประจุมูลฐาน e และสแตตคูลอมบ์ (esu) เครื่องคำนวณจะแปลงทุกอย่างให้เป็นหน่วยระบบ SI ภายในเครื่อง