ベルヌーイ方程式ソルバー

ベルヌーイ方程式ソルバー

ベルヌーイ方程式ソルバーは、最も有名な非線形1階微分方程式の1つであるベルヌーイの方程式 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ を扱い、古典的な教科書の導出をインタラクティブでステップバイステップのウォークスルーに変換します。この電卓は、置換 v = y¹⁻ⁿ を通じて方程式を線形化し、積分因子 μ(x) を構築し、結果として得られる閉形式の曲線を RK4 数値解と方向場に重ね合わせて、すべての詳細を一度に確認できるようにします。

ベルヌーイの微分方程式とは何ですか？

1695年にヤコブ・ベルヌーイによって導入されたベルヌーイ方程式は、以下の形式の1階常微分方程式です。

n = 0 のとき、方程式はすでに線形です。n = 1 のときは変数分離形です。それ以外のすべての実数 n について、方程式は非線形ですが、古典的な置換 v = y¹⁻ⁿ によって v に関する線形常微分方程式に変換され、標準的な積分因子の手法で解くことができます。

6段階のベルヌーイ法

y' + P(x)y = Q(x)yⁿ から始めます：

1. yⁿ で割る： \( y^{-n}y' + P(x)\,y^{1-n} = Q(x) \)。
2. v = y¹⁻ⁿ と置換する： \( v' = (1-n)y^{-n}y' \) であるため、\( y^{-n}y' = v'/(1-n) \) となります。
3. 線形化する： \( v' + (1-n)P(x)\,v = (1-n)Q(x) \) — v に関する1階線形常微分方程式になります。
4. 積分因子を求める： \( \mu(x) = \exp\!\left(\int (1-n)P(x)\,dx\right) \)、よって \( (\mu v)' = \mu(1-n)Q(x) \)。
5. v(x) について解く： \( v(x) = \frac{1}{\mu(x)}\left[\mu(x_0)v_0 + \int_{x_0}^{x}\mu(t)(1-n)Q(t)\,dt\right] \)。
6. 逆置換を行う： \( y(x) = v(x)^{1/(1-n)} \)。

含まれる積分が初等的な場合、きれいな閉形式が得られます。そうでない場合、電卓はシンプソンの公式を使用して数値的に評価し、解曲線をプロットします。

自動的に処理される特殊なケース

計算例 — n = 2、ロジスティック型

初期条件 y(1) = 1 を持つ y' + y/x = x·y² を考えます。ここで P(x) = 1/x、Q(x) = x、n = 2 なので、1 − n = −1 です。

1. v = y⁻¹ = 1/y と置換します。すると v' = −y⁻²y' となり、方程式は v' − (1/x)v = −x になります。
2. 積分因子: μ(x) = exp(∫−1/x dx) = 1/x。
3. (μ·v)' = μ·(−x) = −1。 積分して: (1/x)·v = −x + C、すなわち v = −x² + Cx。
4. 初期条件を適用：x = 1 のとき v = 1/1 = 1 なので、1 = −1 + C ⇒ C = 2。したがって v(x) = −x² + 2x。
5. 逆置換：y(x) = 1/v(x) = 1/(2x − x²) = 1/(x(2 − x))。

閉形式解 y = 1/(x(2−x)) は x = 0 と x = 2 に垂直漸近線を持ちます。これは方向場を一目見れば明らかになるような性質です。

この電卓の使い方

1. 方程式ビルダーに入力します。 青いスロットに P(x) と Q(x) を入力し、小さな上付きボックスに指数 n を入力します。レイアウトは標準形式 y' + P(x)y = Q(x)yⁿ を反映しています。
2. 初期条件 (x₀, y₀) とプロット範囲 [x 最小値, x 最大値] を設定します。範囲には x₀ が含まれている必要があります。
3. 「解く」をクリックします。 電卓は特殊なケース（n = 0 または n = 1）かどうかを検出し、対応する導出を表示します。それ以外の場合は、MathJax でレンダリングされた数式を使用して、完全な6段階のベルヌーイ置換を実行します。
4. プロットを読み取ります。 オレンジ色の曲線は RK4 数値解です。青い破線は積分因子を介して評価された閉形式です。矢印フィールドは各場所での y' を示しているため、他の解も視覚的に推測できます。
5. サンプル点の CSV をコピーします。 軌道を他のプログラムにインポートしたい場合に使用してください。

ヒント、落とし穴、およびエッジケース

• 整数でない n は y > 0 を必要とします。 ソルバーは、yⁿ が複素数になる n = 1/2 と y₀ ≤ 0 のような組み合わせにフラグを立てます。
• y₀ = 0 はしばしば特異点となります。 Q ≠ 0 かつ n > 0 のベルヌーイ方程式は自明な解 y ≡ 0 を持ちますが、これは通常、求めたい分岐ではありません。
• x₀ 付近での P(x) の発散を避けてください。 1/x のような式は x₀ ≠ 0 を必要とします。ソルバーは実行前にこれを検証します。
• 大きな指数 (|n| > 20) はオーバーフローを防ぐために拒否されます。実際、これほど大きな n を持つベルヌーイ方程式が現実の問題に現れることはほとんどありません。
• 垂直漸近線。 RK4 が発散する場合は、解が有限にとどまる x₀ の側で x の範囲を狭めてみてください。

ベルヌーイ方程式が現れる場面

• 人口動態 — ロジスティック方程式 y' = ry(1 − y/K) は、変形するとベルヌーイ方程式（n = 2）になります。
• 化学反応速度論 — 自己触媒反応はしばしば y' ∝ y − y² に従います。
• 電気回路 — 特定の非線形抵抗を持つ RL 回路はベルヌーイ形式になります。
• 流体力学 — 相似性低減後の境界層方程式。
• 伝染病モデル — SIR モデルの感受性保持者の割合はベルヌーイ形式に帰着させることができます。
• 経済成長 — 貯蓄率が一定のソロー・スワン・モデルは n = α のベルヌーイ方程式です。

よくある質問

ベルヌーイの微分方程式とは何ですか？

ベルヌーイ方程式は、y' + P(x)y = Q(x)yⁿ の形式の1階常微分方程式です。ここで、P と Q は連続関数であり、n は任意の実数です。これは、置換 v = y¹⁻ⁿ を通じて線形方程式に変換できる非線形常微分方程式の古典的な例です。

置換 v = y¹⁻ⁿ はどのように機能しますか？

元の方程式に y⁻ⁿ を掛けると、すべての y 項が y¹⁻ⁿ または y⁻ⁿy' になります。v = y¹⁻ⁿ と置くと v' = (1−n)y⁻ⁿy' となります。これを代入すると、ベルヌーイ方程式は v' + (1−n)P(x)v = (1−n)Q(x) に変換されます。これは v に関する線形方程式であり、積分因子を使用して解くことができます。

n = 0 または n = 1 の場合はどうなりますか？

n = 0 の場合、方程式はすでに1階線形であるため、置換は不要です。n = 1 の場合、ベルヌーイの手法では 1 − n = 0 で割ることになるため、別に処理します。この場合、方程式は y' = (Q(x) − P(x))·y となり、変数分離形で閉形式解 y = y₀·exp(∫(Q−P) dx) が得られます。

ベルヌーイ方程式は常に閉形式で解けますか？

原理的には可能ですが、積分因子を含む結果の積分が初等的な原始関数を持たない場合があります。その場合、この電卓はシンプソンの公式を使用して数値的に評価し、解曲線をプロットします。この手法自体は常にベルヌーイ常微分方程式を求積法に帰着させます。

なぜ負の y と整数でない n が問題になるのですか？

n が整数でない場合、yⁿ は exp(n·ln y) として定義され、y > 0 の場合にのみ実数となります。負の y を入力すると複素数が発生します。ソルバーはこの状況をフラグ立てし、解が実数値にとどまるように y₀ > 0 または整数の指数を要求します。

方向場は何を示していますか？

方向場は、各点 (x, y) における y' と等しい角度を持つ微小な接線セグメントのグリッドです。いかなる解曲線もこれらの接線に従う必要があるため、方向場を見ることで、初期条件によって特定の曲線が特定される前に、すべての解の定性的な形状を一度に確認できます。

参考文献

• ベルヌーイの微分方程式 — Wikipedia
• 積分因子 — Wikipedia
• ロジスティック関数 — Wikipedia
• 方向場 — Wikipedia