逆ラプラス変換電卓

Q: 逆ラプラス変換の数学的定義は何ですか？

正式な定義は f(t) = L^{-1}{F(s)} = (1/2πi) ∫ e^(st) F(s) ds であり、積分は複素平面上の等高線積分です。実際には、積分の直接評価ではなく、変換表や代数的手法が使用されます。

F(s) の逆ラプラス変換を計算して f(t) を求めます。ステップバイステップの解答と視覚化を取得し、周波数領域から時間領域への変換を理解します。

逆ラプラス変換電卓

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関数 F(s) を入力

F(s) =

`^` は累乗、`*` は乗算に使用します。例：1/(s^2+4)、s/((s-1)*(s+2))

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逆ラプラス変換電卓

工学数学

周波数領域

F(s)

逆ラプラス変換

時間領域

f(t)

**逆ラプラス変換電卓**へようこそ。これは、関数を複素周波数領域 $ F(s) $ から時間領域 $ f(t) $ に戻すための強力なツールです。エンジニア、数学者、物理学者、および微分方程式、制御システム、回路解析、信号処理に取り組む学生にとって不可欠です。

逆ラプラス変換とは何ですか？

**逆ラプラス変換**は、ラプラス変換操作を逆に行うものです。s領域（複素周波数領域）の関数 $ F(s) $ が与えられると、対応する時間領域関数 $ f(t) $ を求めます。これは、定数係数を持つ線形微分方程式を解くための基本です。

正式な定義

逆ラプラス変換

$$f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds$$

実際には、この等高線積分の直接評価はめったに行われません。代わりに、既知の変換対の表と代数的操作手法を使用して逆変換を求めます。

主な性質

線形性

$ \mathcal{L}^{-1}\{aF(s) + bG(s)\} = a f(t) + b g(t) $

第一移動定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s - a)\} = e^{at} f(t) $

第二移動定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{e^{-as}F(s)\} = u(t-a) f(t-a) $

畳み込み定理

$ \mathcal{L}^{-1}\{F(s)G(s)\} = \int_0^t f(\tau) g(t - \tau) d\tau $

一般的な変換対

$ F(s) $	$ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} $
$ \dfrac{1}{s} $	$ 1 $
$ \dfrac{n!}{s^{n+1}} $	$ t^n $
$ \dfrac{1}{s - a} $	$ e^{at} $
$ \dfrac{b}{s^2 + b^2} $	$ \sin(bt) $
$ \dfrac{s}{s^2 + b^2} $	$ \cos(bt) $
$ \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\sin(bt) $
$ \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} $	$ e^{at}\cos(bt) $

この電卓の使い方

F(s)を入力： 標準的な数学表記を使用して関数を入力します。指数には ^、乗算には *、および標準的な関数名を使用してください。
計算をクリック： ボタンを押して、数式処理を使用して逆ラプラス変換を計算します。
結果を確認： 時間領域関数 $ f(t) $、段階的な解法、および両方の関数のグラフによる可視化を確認します。

応用

制御システム： 伝達関数を時間領域の挙動に変換してシステム応答を解析
回路解析： RLC回路を解き、過渡応答を決定
信号処理： フィルタ応答と信号変換を理解
微分方程式： 定数係数を持つ常微分方程式（ODE）の閉形式解を導出
機械システム： 振動、減衰、および機械的応答を解析

入力構文ガイド

基本演算子： +, -, *, /, ^ (累乗)
括弧： グループ化には ( と ) を使用
変数： 複素周波数変数として s を使用
関数： exp(x), sin(x), cos(x), sqrt(x), log(x)
定数： $\pi$ には pi、ネイピア数（オイラー数）には E を使用

よくある質問

逆ラプラス変換とは何ですか？

逆ラプラス変換は、関数 F(s) を複素周波数領域（s領域）から時間領域 f(t) に戻す数学的操作です。これはラプラス変換の逆であり、工学や物理学における微分方程式を解くために不可欠です。

逆ラプラス変換電卓の使い方は？

標準的な数学表記（例：1/(s-7), s/(s^2+4), exp(-2*s)/s）を使用して関数 F(s) を入力してください。「計算」をクリックすると、逆ラプラス変換 f(t) とともに、段階的な解法や、周波数領域と時間領域の両方の関数の可視化結果が得られます。

どのような種類の関数がサポートされていますか？

この電卓は、有理関数（多項式割る多項式）、指数関数、s領域の式に埋め込まれた三角関数、およびそれらの組み合わせをサポートしています。一般的な形式には、1/(s-a)、n!/(s^(n+1))、s/(s^2+b^2)、およびより複雑な式が含まれます。

逆ラプラス変換の数学的定義は何ですか？

正式な定義は $ f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma - i\infty}^{\gamma + i\infty} e^{st} F(s) \, ds $ であり、積分は複素平面上の等高線積分です。実際には、積分の直接評価ではなく、変換表や代数的手法が使用されます。

なぜ逆ラプラス変換は工学において重要なのか？

エンジニアは、線形時不変システムの解析、回路問題の解決、制御システムの設計、信号処理の理解に逆ラプラス変換を使用します。これは、s領域の代数方程式を時間領域の微分方程式の解に戻します。

追加リソース

このコンテンツ、ページ、またはツールを引用する場合は、次のようにしてください：

"逆ラプラス変換電卓"（https://MiniWebtool.com/ja/逆ラプラス変換電卓/） MiniWebtool からの引用、https://MiniWebtool.com/

提供：MiniWebToolチーム更新日：2026年1月24日

また、AI 数学ソルバー GPT を使って、自然言語による質問と回答で数学の問題を解決することもできます。

その他の関連ツール:

\( F(s) \)	\( f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} \)
\( \dfrac{1}{s} \)	\( 1 \)
\( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \)	\( t^n \)
\( \dfrac{1}{s - a} \)	\( e^{at} \)
\( \dfrac{b}{s^2 + b^2} \)	\( \sin(bt) \)
\( \dfrac{s}{s^2 + b^2} \)	\( \cos(bt) \)
\( \dfrac{b}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\sin(bt) \)
\( \dfrac{s-a}{(s-a)^2 + b^2} \)	\( e^{at}\cos(bt) \)

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逆ラプラス変換とは何ですか？

正式な定義

主な性質

一般的な変換対

この電卓の使い方

応用

入力構文ガイド

よくある質問

逆ラプラス変換とは何ですか？

逆ラプラス変換電卓の使い方は？

どのような種類の関数がサポートされていますか？

逆ラプラス変換の数学的定義は何ですか？

なぜ逆ラプラス変換は工学において重要なのか？

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