Kalkulator Angka Bahagia

Selamat datang di Kalkulator Angka Bahagia, alat interaktif untuk menjelajahi salah satu konsep paling menyenangkan dalam matematika rekreasi. Masukkan bilangan bulat positif apa pun dan temukan apakah itu merupakan angka bahagia dengan menyaksikan perjalanan kuadrat digitnya terungkap langkah demi langkah. Visualisasi animasi, grafik lintasan, dan perincian mendetail memudahkan Anda untuk memahami bagaimana angka mencapai kebahagiaan — atau jatuh ke dalam siklus tanpa akhir.

Apa itu Angka Bahagia?

Angka bahagia adalah bilangan bulat positif yang pada akhirnya mencapai 1 ketika Anda berulang kali menggantinya dengan jumlah kuadrat dari digit-digitnya. Jika sebuah angka tidak pernah mencapai 1 dan sebaliknya memasuki siklus tak terbatas, itu disebut angka tidak bahagia (atau angka sedih).

Prosesnya

Di mana \(d_i\) adalah digit individu dari \(n\). Sebagai contoh:

• 19: 1² + 9² = 1 + 81 = 82 → 8² + 2² = 64 + 4 = 68 → 6² + 8² = 36 + 64 = 100 → 1² + 0² + 0² = 1 ✔ Bahagia!
• 2: 2² = 4 → 4² = 16 → 1² + 6² = 37 → ... → masuk ke siklus ✘ Tidak Bahagia

Siklus Tidak Bahagia

Setiap angka yang tidak bahagia akhirnya memasuki siklus 8 angka yang sama:

Fakta luar biasa ini berarti Anda hanya perlu memeriksa apakah urutannya pernah mencapai angka 4 untuk menentukan bahwa angka tersebut tidak bahagia. Tidak ada siklus lain untuk proses penguadratan digit dalam basis 10.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan angka: Ketik bilangan bulat positif apa pun ke dalam kolom input. Coba contoh cepat untuk angka bahagia dan tidak bahagia yang klasik.
2. Pilih mode: Gunakan "Periksa Angka Tunggal" untuk menganalisis satu angka secara mendalam, atau "Temukan Semua Angka Bahagia dalam Rentang" untuk menemukan setiap angka bahagia dari 1 hingga N.
3. Analisis hasil: Klik "Periksa Angka" untuk melihat urutan kuadrat digit lengkap, grafik lintasan interaktif, dan perincian langkah demi langkah.
4. Jelajahi pola: Cobalah angka yang berbeda untuk menemukan hubungan antara angka bahagia dan pola digitnya.

Angka Bahagia di Bawah 100

Terdapat tepat 20 angka bahagia antara 1 dan 100:

Sifat Menarik dari Angka Bahagia

Invariansi Permutasi Digit

Jika suatu angka bahagia, maka setiap penyusunan ulang digitnya juga bahagia. Misalnya, karena 19 bahagia, maka 91 juga bahagia. Demikian pula, 13 dan 31 keduanya bahagia.

Invariansi Penyisipan Nol

Menyisipkan atau menghapus angka nol tidak mengubah status kebahagiaan suatu angka. Karena 19 bahagia, maka 109, 190, 1009, 1090 juga semuanya bahagia.

Bilangan Prima Bahagia

Bilangan prima bahagia adalah angka yang merupakan angka bahagia sekaligus bilangan prima. Beberapa bilangan prima bahagia pertama adalah: 7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 139. Bilangan prima bahagia telah menarik minat dalam teori bilangan dan bahkan telah direferensikan dalam budaya populer.

Kepadatan Angka Bahagia

Kepadatan angka bahagia di antara semua bilangan bulat positif adalah sekitar 14,3%. Ini berarti kira-kira 1 dari 7 bilangan bulat positif adalah bahagia. Menariknya, kepadatan ini tetap cukup konsisten di berbagai rentang yang berbeda.

Angka Bahagia dalam Basis yang Berbeda

Konsep angka bahagia dapat diperluas ke basis angka lainnya. Dalam basis \(b\), sebuah angka dikatakan bahagia jika jumlah iterasi kuadrat dari digit basis-\(b\)-nya mencapai 1. Sifat dan struktur siklus bervariasi secara signifikan antar basis:

• Basis 2: Hanya pangkat dari 2 yang bahagia (1, 2, 4, 8, 16, ...)
• Basis 4: 1 adalah satu-satunya angka bahagia
• Basis 10: Set familiar dengan kepadatan sekitar 14,3%

Aspek Komputasi

Untuk angka apa pun dengan \(d\) digit, jumlah kuadrat dari digit-digitnya paling banyak adalah \(81d\) (ketika semua digit adalah 9). Ini berarti:

• Angka 1 digit memetakan ke paling banyak 81
• Angka 3 digit (hingga 999) memetakan ke paling banyak 243
• Angka apa pun di atas 999 akan segera memetakan ke angka yang lebih kecil

Hal ini menjamin bahwa urutan tersebut akan selalu memasuki siklus atau mencapai 1, membuat algoritma selalu berhenti.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu angka bahagia?

Angka bahagia adalah bilangan bulat positif yang pada akhirnya mencapai 1 ketika Anda berulang kali menggantinya dengan jumlah kuadrat dari digit-digitnya. Misalnya, 19 adalah bahagia karena: 1² + 9² = 82, lalu 8² + 2² = 68, lalu 6² + 8² = 100, lalu 1² + 0² + 0² = 1. Angka yang tidak pernah mencapai 1 disebut angka tidak bahagia atau sedih.

Apa yang terjadi pada angka yang tidak bahagia?

Angka tidak bahagia (atau sedih) tidak pernah mencapai 1. Sebaliknya, mereka akhirnya memasuki siklus tak terbatas: 4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4. Setiap angka yang tidak bahagia akhirnya akan memasuki siklus 8 angka yang sama ini.

Apa saja angka bahagia di bawah 100?

Angka bahagia di bawah 100 adalah: 1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97. Itu adalah 20 angka bahagia dari 100, atau tepatnya 20%.

Apakah ada pola untuk angka bahagia?

Angka bahagia berbagi sifat menarik: setiap permutasi digit angka bahagia juga bahagia (misal: 19 dan 91 keduanya bahagia). Selain itu, menyisipkan atau menghapus nol tidak mengubah kebahagiaan (misal: 19, 109, 190 semuanya bahagia). Kepadatan angka bahagia adalah sekitar 14,3% di antara semua bilangan bulat positif.

Siapa yang menemukan angka bahagia?

Angka bahagia pertama kali dipelajari oleh Reg Allenby pada tahun 1966. Konsep ini menjadi populer melalui matematika rekreasi. Istilah "angka bahagia" dikaitkan dengan seorang siswa muda yang membawa ide tersebut kepada matematikawan di Cambridge.

Bagaimana angka bahagia digunakan dalam matematika?

Angka bahagia muncul dalam teori bilangan, matematika rekreasi, dan digunakan sebagai latihan pemrograman. Mereka terhubung dengan konsep seperti titik tetap, siklus dalam fungsi iterasi, dan urutan berbasis digit. Bilangan prima bahagia (angka yang bahagia sekaligus prima) memiliki minat khusus dalam penelitian matematika.

Sumber Daya Tambahan

• Angka Bahagia - Wikipedia
• OEIS A007770 - Angka Bahagia