角速度計算機

這款角速度計算機可以在單一表單中轉換 RPM、rad/s、deg/s、Hz、每秒轉數、週期（每次旋轉的秒數）以及每小時或每天的轉數。它還能使用 ω = v/r 公式，根據線速度和半徑計算角速度，並計算您提供的任何半徑下的切向速度和向心加速度。即時 SVG 圓盤會精確地以計算出的角速度旋轉，這樣您就可以親眼看到 — 而不只是讀到 — 該數字的含義。比較面板則顯示了您的 ω 在真實世界旋轉（鐘錶指針、地球、黑膠唱片、硬碟、洗衣機、噴射發動機、超高速離心機）中所處的位置。

如何使用這款角速度計算機

1. 選擇模式：如果您已經有某個單位的 ω 並希望將其表示為其他單位，請選擇轉換角度值；如果您知道切向速度和半徑並想要計算 ω，請選擇從線性運動 (v, r) 計算。
2. 在轉換模式下，輸入數值並選擇九個角度單位中的任意一個。您也可以選擇輸入半徑，計算機將同時報告該半徑下的切向速度和向心加速度。
3. 在線性運動模式下，輸入線速度 v 和半徑 r。計算機應用 ω = v / r 並為您提供 ω 以及完整的轉換表。
4. 按下計算以查看每個單位中的 ω、匹配的真實世界旋轉、旋轉圓盤動畫以及逐步推導過程。

是什麼讓這款計算機與眾不同

角速度公式

旋轉物體的角速度 \(\omega\) 是其角度位置隨時間變化的速率：

\[ \omega \;=\; \dfrac{d\theta}{dt} \quad\text{(rad/s)} \]

對於勻速旋轉，這等於掃過的總角度（以弧度為單位）除以所用時間。日常單位之間最常見的轉換為：

\[ \omega_{\text{rad/s}} \;=\; \text{RPM} \cdot \dfrac{2\pi}{60} \;=\; f \cdot 2\pi \;=\; \dfrac{2\pi}{T} \]

其中 \(f\) 是以赫茲為單位的旋轉頻率，\(T\) 是以秒為單位的週期。反向轉換為：

\[ \text{RPM} \;=\; \omega_{\text{rad/s}} \cdot \dfrac{60}{2\pi}, \quad f \;=\; \dfrac{\omega}{2\pi}, \quad T \;=\; \dfrac{2\pi}{\omega} \]

角運動與線性運動的關係

如果物體在半徑為 \(r\) 的圓形路徑上運動，其線性（切向）速度 \(v\) 和角速度 \(\omega\) 的關係為

\[ v \;=\; \omega \, r \quad\Longleftrightarrow\quad \omega \;=\; \dfrac{v}{r} \]

同樣地，始終指向旋轉中心的向心加速度為

\[ a \;=\; \omega^{2} \, r \;=\; \dfrac{v^{2}}{r} \]

每當您提供半徑時，計算機都會自動計算 \(v\) 和 \(a\)，並將 \(a\) 表示為標準重力 (g) 的倍數，以便您可以與真實世界的經驗進行比較。

計算範例：洗衣機脫水程序

半徑為 25 cm 的洗衣機滾筒在脫水程序中以 1200 RPM 的速度旋轉。

• 轉換為 rad/s：\(\omega = 1200 \cdot 2\pi / 60 \approx 125.66\) rad/s。
• 滾筒壁處的切向速度：\(v = \omega r = 125.66 \cdot 0.25 \approx 31.4\) m/s ≈ 113 km/h — 這就是為什麼濕衣服會緊緊貼在滾筒壁上。
• 向心加速度：\(a = \omega^{2} r \approx 3948\) m/s² ≈ 402 g — 約為地球重力的 400 倍，這正是將水甩出滾筒孔洞的原因。

計算範例：時速 100 km/h 的汽車車輪

外半徑為 31 cm 的汽車車輪（典型客車輪胎）在車速為 100 km/h ≈ 27.78 m/s 時純滾動而不打滑。

• 角速度：\(\omega = v / r = 27.78 / 0.31 \approx 89.6\) rad/s。
• 以 RPM 為單位：\(\omega \cdot 60 / (2\pi) \approx 856\) RPM — 遠低於客車引擎典型的 7000 RPM 紅線區，這就是汽車變速箱存在的原因。
• 週期：\(T = 2\pi/\omega \approx 0.070\) s/每圈。

真實世界角速度參考

Hz vs RPM vs rad/s — 我應該使用哪一個？

這三者描述的是完全相同的物理旋轉，只是單位習慣不同：

• RPM（每分鐘轉數）是馬達、風扇、驅動器和轉盤的日常工程單位。
• Hz（每秒旋轉圈數）與 rev/s 相同，符合旋轉頻率。1 Hz = 60 RPM。
• rad/s（每秒弧度）是 SI 國際單位，用於物理公式中，因為數學計算更簡潔：\(v = \omega r\)、\(a = \omega^{2} r\)、\(\theta = \omega t\)。一個完整的旋轉圈等於 \(2\pi\) 弧度，因此 1 Hz = 2π rad/s ≈ 6.283 rad/s，而 1 RPM = 2π/60 rad/s ≈ 0.1047 rad/s。

為什麼要使用弧度而不是角度？

弧度被定義為長度等於半徑的弧所對向的角度，這使得 \(s = r\theta\) 和 \(v = r\omega\) 在沒有任何轉換因子的情況下成立。使用角度會在每個推導過程中引入笨拙的 \(\pi/180\) 因子。這就是為什麼物理和工程公式普遍使用 rad/s，儘管日常測量（RPM、每秒角度）感覺更直觀。這款計算機在兩個方向上都能進行轉換，因此您可以保留在最能清晰解釋問題的單位中。

常見問題解答

如何將 RPM 轉換為 rad/s？
將 RPM 乘以 2π/60。因此 60 RPM 等於 60 × 2π / 60 = 2π ≈ 6.283 rad/s。當您變更輸入單位時，計算機自動執行此轉換。

如何將 rad/s 轉換為 RPM？
將 rad/s 乘以 60/(2π)。因此 10 rad/s 等於 10 × 60 / (2π) ≈ 95.49 RPM。結果面板中的完整轉換表可同時顯示每種常見單位。

角速度與線速度有何關係？
對於在半徑為 r 的圓上運動的點，切向速度 v 等於乘積 ω·r。因此 ω = v/r。線性運動模式直接應用了這一點。

Hz 和 rad/s 有什麼區別？
Hertz 計算每秒完整的旋轉圈數；rad/s 測量每秒以弧度為單位的角度掃描。一圈 = 2π 弧度，因此 1 Hz = 2π rad/s。兩者在不同的單位系統中描述相同的旋轉。

如何找到旋轉的週期？
週期 T 是完成一次完整旋轉的時間，等於 2π/ω（以秒為單位），或 60/RPM（以秒為單位）。在 6000 RPM 時，週期為 60/6000 = 0.01 s = 10 ms/每圈。

什麼是向心加速度？
對於以角速度 ω 和半徑 r 進行的圓周運動，向心加速度為 ω²r，始終指向中心。只要提供了半徑，計算機就會報告此值，並以標準重力的倍數表示，以便於直觀理解。

我可以在手機上使用這款計算機嗎？
可以。在小於 900 px 的螢幕上，版面配置會切換為單欄排列，使每個輸入、預覽和結果面板保持可讀，而無需水平滾動。