有理式計算機
歡迎使用 有理式計算機,這是一個幫助你處理有理式的線上工具。有理式是指分子與分母皆為多項式的分數。本工具可以協助你化簡有理式,或對兩個有理式進行加、減、乘、除運算,並提供逐步推導過程,非常適合學生、老師以及需要在實務中處理代數運算的使用者。
有理式計算機的主要功能
- 多種運算模式: 化簡、加法、減法、乘法與除法
- 部分分式分解: 將複雜的有理式分解成較簡單的分式之和
- 公因式分析: 找出分子與分母的公因式並顯示可約掉的部分
- 逐步解題: 顯示每一步的代數操作,方便學習與檢查
- 智慧解析輸入: 支援常見數學記號,並可自動判斷部分省略的乘號
- 結果驗證: 幫助確認原式與化簡後的式子在定義域內是等價的
- 多種表示方式: 可查看展開式、因式分解形式以及純分式形式
什麼是有理式?
有理式 是一種分數,其分子與分母都是多項式。類似於「有理數」是整數之比,有理式就是多項式之比。例子:
- $\frac{x+1}{x-1}$ – 簡單的一次多項式比
- $\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$ – 分子與分母都是二次多項式
- $\frac{1}{x}$ – 多項式除以單項式
支援的運算
1. 化簡
先將分子與分母因式分解,再約掉公因式,使有理式化為較簡單但等價的形式。
2. 加法與減法
透過尋找公分母,將兩個有理式改寫為同分母後相加或相減,最後再化簡。
3. 乘法
將分子相乘、分母相乘,再將得到的分數因式分解並約分。
4. 除法
以被除式乘上除式的倒數 (reciprocal),然後進行和乘法相同的化簡步驟。
5. 部分分式分解
把一個有理式寫成幾個簡單分式之和,特別常見於微積分中的積分計算。
6. 顯示公因式
顯示分子、分母的因式分解結果,以及哪些因式可被約掉,幫助你看清式子的結構。
如何使用有理式計算機
- 輸入有理式 1: 在第一個輸入框中輸入第一個有理式。
- 必要時輸入有理式 2: 若要進行加、減、乘、除,請輸入第二個有理式;若只需化簡或部分分式分解,可留空。
- 選擇運算類型: 在下拉選單中選擇欲進行的操作,例如 Simplify、Add、Subtract 等。
- 按下「Calculate」: 工具會計算並顯示結果與步驟。
- 閱讀步驟解說: 透過步驟可以理解每一次變形的原因與用到的公式。
輸入格式小提醒
- 乘法: 可以輸入 2*x 或 2x
- 除法: 使用 /,例如 x/2 或 (x+1)/(x-1)
- 指數: 使用 ^ 或 **,如 x^2 或 x**2
- 括號: 對於較複雜的分子與分母,建議以括號明確包住,例如 (x+1)/(x-1)
- 函數: 支援 sqrt、sin、cos、tan、ln、log、exp 等常見函數
有理式的重要觀念
化簡規則
- 先因式分解,再約分公因式
- 只能約「因式」,不能直接約掉加減式中的單一項
- 約分之後,原本不可取的 x 值 (讓分母為 0) 仍然不可忽略
常見錯誤與提醒
- 錯把 $\frac{x+2}{x}$ 約成 $2$ 是不正確的約分方式
- 化簡 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 得到 $x+1$ 時,原本的條件 $x \neq 1$ 依然存在
- 選擇公分母時要留意因式分解後的型態,方便後續約分
延伸閱讀
如果你想更深入了解有理式與相關主題,可以參考以下英文資源:
- Rational Expression – Wikipedia (英文)
- Rational Expressions – Khan Academy (英文)
- Rational Function – Wolfram MathWorld (英文)
- Rational Expressions – Paul's Online Math Notes (英文)
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由 miniwebtool 團隊製作。更新於:2025年11月28日
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