有理式計算機

有理式計算機

歡迎使用 有理式計算機，這是一個幫助你處理有理式的線上工具。有理式是指分子與分母皆為多項式的分數。本工具可以協助你化簡有理式，或對兩個有理式進行加、減、乘、除運算，並提供逐步推導過程，非常適合學生、老師以及需要在實務中處理代數運算的使用者。

有理式計算機的主要功能

• 多種運算模式： 化簡、加法、減法、乘法與除法
• 部分分式分解： 將複雜的有理式分解成較簡單的分式之和
• 公因式分析： 找出分子與分母的公因式並顯示可約掉的部分
• 逐步解題： 顯示每一步的代數操作，方便學習與檢查
• 智慧解析輸入： 支援常見數學記號，並可自動判斷部分省略的乘號
• 結果驗證： 幫助確認原式與化簡後的式子在定義域內是等價的
• 多種表示方式： 可查看展開式、因式分解形式以及純分式形式

什麼是有理式？

有理式 是一種分數，其分子與分母都是多項式。類似於「有理數」是整數之比，有理式就是多項式之比。例子：

• $\frac{x+1}{x-1}$ – 簡單的一次多項式比
• $\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$ – 分子與分母都是二次多項式
• $\frac{1}{x}$ – 多項式除以單項式

支援的運算

1. 化簡

先將分子與分母因式分解，再約掉公因式，使有理式化為較簡單但等價的形式。

2. 加法與減法

透過尋找公分母，將兩個有理式改寫為同分母後相加或相減，最後再化簡。

3. 乘法

將分子相乘、分母相乘，再將得到的分數因式分解並約分。

4. 除法

以被除式乘上除式的倒數 (reciprocal)，然後進行和乘法相同的化簡步驟。

5. 部分分式分解

把一個有理式寫成幾個簡單分式之和，特別常見於微積分中的積分計算。

6. 顯示公因式

顯示分子、分母的因式分解結果，以及哪些因式可被約掉，幫助你看清式子的結構。

如何使用有理式計算機

1. 輸入有理式 1： 在第一個輸入框中輸入第一個有理式。
2. 必要時輸入有理式 2： 若要進行加、減、乘、除，請輸入第二個有理式；若只需化簡或部分分式分解，可留空。
3. 選擇運算類型： 在下拉選單中選擇欲進行的操作，例如 Simplify、Add、Subtract 等。
4. 按下「Calculate」： 工具會計算並顯示結果與步驟。
5. 閱讀步驟解說： 透過步驟可以理解每一次變形的原因與用到的公式。

輸入格式小提醒

• 乘法： 可以輸入 2*x 或 2x
• 除法： 使用 /，例如 x/2 或 (x+1)/(x-1)
• 指數： 使用 ^ 或 **，如 x^2 或 x**2
• 括號： 對於較複雜的分子與分母，建議以括號明確包住，例如 (x+1)/(x-1)
• 函數： 支援 sqrt、sin、cos、tan、ln、log、exp 等常見函數

有理式的重要觀念

化簡規則

• 先因式分解，再約分公因式
• 只能約「因式」，不能直接約掉加減式中的單一項
• 約分之後，原本不可取的 x 值 (讓分母為 0) 仍然不可忽略

常見錯誤與提醒

• 錯把 $\frac{x+2}{x}$ 約成 $2$ 是不正確的約分方式
• 化簡 $\frac{x^2-1}{x-1}$ 得到 $x+1$ 時，原本的條件 $x \neq 1$ 依然存在
• 選擇公分母時要留意因式分解後的型態，方便後續約分

延伸閱讀

如果你想更深入了解有理式與相關主題，可以參考以下英文資源：

• Rational Expression – Wikipedia (英文)
• Rational Expressions – Khan Academy (英文)
• Rational Function – Wolfram MathWorld (英文)
• Rational Expressions – Paul's Online Math Notes (英文)