ข้อจำกัดของโดเมนสำหรับนิพจน์ตรรกยะคืออะไร?

ข้อจำกัดของโดเมนคือค่าของตัวแปรที่ทำให้ตัวส่วนเท่ากับศูนย์ เนื่องจากการหารด้วยศูนย์ไม่นิยาม ค่าเหล่านี้จึงต้องถูกแยกออก ตัวอย่างเช่น ใน (x+1)/(x-2), x ไม่สามารถเท่ากับ 2 ได้ เมื่อลดรูปแล้ว ข้อจำกัดโดเมนเดิมยังคงมีผลอยู่แม้ว่าตัวส่วนจะเปลี่ยนไปก็ตาม

เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

เศษส่วนพหุนามต้องใช้ทั้งพีชคณิตและข้อจำกัดของโดเมน เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะของ MiniWebtool ทำให้นิพจน์ง่ายลงหรือรวมสองนิพจน์ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ พร้อมแสดงขั้นตอนแยกตัวประกอบและค่าที่ตัวส่วนทำให้ใช้ไม่ได้

ใช้ฟรีวันละ 3 ครั้งไม่ต้องสมัครสมาชิกผลลัพธ์ทันที

เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะลองใช้เลย — ฟรี ▼

แยกตัวประกอบ ตัดตัวประกอบร่วม และคงค่าที่ไม่นับรวมไว้

ใส่นิพจน์ตรรกยะหนึ่งหรือสองนิพจน์ด้านล่างและเลือกการคำนวณ เพื่อดูผลลัพธ์แบบย่อ ข้อจำกัดของโดเมน และขั้นตอน

✍ ลองใช้ตัวอย่างเหล่านี้

÷ (x²-1)/(x-1) + 1/(x+1) + 1/(x-1) × คูณเศษส่วน ÷ หารนิพจน์ ∑ เศษส่วนย่อย 🔍 แสดงตัวประกอบ

เลือกการดำเนินการ

÷ ลดรูป

+ บวก

− ลบ

× คูณ

÷ หาร

∑ เศษส่วนย่อย

🔍 ตัวประกอบร่วม

นิพจน์ 1

ป้อนนิพจน์ตรรกยะของคุณโดยใช้สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์มาตรฐาน

นิพจน์ 2 (สำหรับการดำเนินการแบบสองพจน์)

จำเป็นสำหรับการบวก, ลบ, คูณ, หาร

📖 คู่มือการป้อนข้อมูล

ตัวแปร x, y, z, a, b

การคูณ 2*x หรือ 2x

เศษส่วน (x+1)/(x-1)

เลขชี้กำลัง x^2 หรือ x**3

การจัดกลุ่ม (2x+3)/(x-1)

ฟังก์ชัน sqrt(x), sin(x)

Embed เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ Widget

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

ยินดีต้อนรับสู่ เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ เครื่องมือพีชคณิตที่มีประสิทธิภาพซึ่งช่วยลดรูป บวก ลบ คูณ และหารนิพจน์ตรรกยะพร้อมแสดงวิธีทำอย่างละเอียดทีละขั้นตอน ไม่ว่าคุณจะกำลังเรียนรู้เรื่องเศษส่วนพหุนาม เตรียมตัวสำหรับแคลคูลัสด้วยการแยกเศษส่วนย่อย หรือวิเคราะห์โครงสร้างนิพจน์ผ่านการวิเคราะห์ตัวประกอบร่วม เครื่องคำนวณนี้จะให้คำอธิบายที่ชัดเจนในทุกขั้นตอน

นิพจน์ตรรกยะคืออะไร?

นิพจน์ตรรกยะ คือเศษส่วนที่ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนาม เช่นเดียวกับที่จำนวนตรรกยะอย่าง $\frac{3}{4}$ คืออัตราส่วนของจำนวนเต็ม นิพจน์ตรรกยะอย่าง $\frac{x^2 - 1}{x + 1}$ ก็คืออัตราส่วนของพหุนาม นิพจน์ตรรกยะปรากฏอยู่ในวิชาพีชคณิต แคลคูลัส ฟิสิกส์ และวิศวกรรมศาสตร์

รูปแบบทั่วไป

$$\frac{P(x)}{Q(x)} \quad \text{เมื่อ } P(x) \text{ และ } Q(x) \text{ เป็นพหุนาม, } Q(x) \neq 0$$

การดำเนินการที่รองรับ

÷ ลดรูป

ลดทอนนิพจน์ตรรกยะให้เป็นรูปอย่างง่ายที่สุดโดยการแยกตัวประกอบและตัดทอนตัวประกอบร่วม

ตัวอย่าง: $\frac{x^2-1}{x-1} = x+1$

+ บวก

หาตัวส่วนร่วม รวมตัวเศษ และลดรูปผลลัพธ์

ตัวอย่าง: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{2x}{x^2-1}$

− ลบ

หาตัวส่วนร่วม ลบตัวเศษ และลดรูป

ตัวอย่าง: $\frac{x}{x+2} - \frac{2}{x+2} = \frac{x-2}{x+2}$

× คูณ

คูณตัวเศษเข้าด้วยกันและตัวส่วนเข้าด้วยกัน จากนั้นจึงลดรูป

ตัวอย่าง: $\frac{x+2}{x-1} \times \frac{x-1}{x+3} = \frac{x+2}{x+3}$

÷ หาร

คูณด้วยส่วนกลับของตัวหาร แล้วจึงลดรูป

ตัวอย่าง: $\frac{x^2-4}{x+1} \div (x-2) = \frac{x+2}{x+1}$

∑ เศษส่วนย่อย

แยกส่วนออกเป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายกว่า จำเป็นสำหรับการอินทิเกรตในแคลคูลัส

ตัวอย่าง: $\frac{2x+3}{x^2-1} \to \frac{5}{2(x-1)} + \frac{1}{2(x+1)}$

🔍 ตัวประกอบร่วม

แยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วน ระบุและแสดง ห.ร.ม.

ตัวอย่าง: $\frac{6x^2+9x}{2x+3}$ มีตัวประกอบให้วิเคราะห์

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

ป้อนนิพจน์ 1: พิมพ์นิพจน์ตรรกยะของคุณโดยใช้สัญลักษณ์มาตรฐาน ใช้ ^ สำหรับเลขชี้กำลัง, / สำหรับเศษส่วน และวงเล็บสำหรับการจัดกลุ่ม รองรับการคูณโดยนัย (เช่น 2x หมายถึง 2*x)
เลือกการดำเนินการ: คลิกที่การ์ดการดำเนินการหรือใช้เมนูแบบเลื่อนลง สำหรับการลดรูป, เศษส่วนย่อย และแสดงตัวประกอบ จำเป็นต้องใช้แค่นิพจน์ 1 เท่านั้น
ป้อนนิพจน์ 2 (หากจำเป็น): สำหรับการบวก ลบ คูณ และหาร ให้ระบุนิพจน์ที่สอง
คลิกคำนวณ: ดูวิธีทำทีละขั้นตอน รวมถึงการวิเคราะห์โครงสร้าง ข้อจำกัดโดเมน และรูปแบบทางเลือกของผลลัพธ์

คำแนะนำในการป้อนนิพจน์

การคูณ: ใช้ * หรือเขียนตัวแปรติดกัน (2x หรือ 2*x)
การหาร / เศษส่วน: ใช้ / พร้อมวงเล็บสำหรับเศษส่วนที่ซับซ้อน: (x+1)/(x-1)
เลขชี้กำลัง: ใช้ ^ หรือ ** (เช่น x^2 หรือ x**2)
วงเล็บ: จัดกลุ่มตัวเศษและตัวส่วนที่ซับซ้อนเสมอ: (x^2+1)/(x-3)
ฟังก์ชัน: ที่รองรับ: sqrt(x), sin(x), cos(x), ln(x), exp(x)

เคล็ดลับ: ควรใช้วงเล็บล้อมรอบตัวเศษและตัวส่วนที่ซับซ้อนเสมอ การเขียน x+1/x-1 จะถูกตีความว่าเป็น x + (1/x) - 1 ไม่ใช่ (x+1)/(x-1)

คุณสมบัติสำคัญของนิพจน์ตรรกยะ

กฎการลดรูป

แยกตัวประกอบก่อน: แยกตัวประกอบตัวเศษและตัวส่วนให้สมบูรณ์เสมอก่อนทำการตัดทอน
ตัดทอนเฉพาะตัวประกอบ: เฉพาะตัวประกอบ (พจน์ที่คูณกันอยู่) เท่านั้นที่ตัดทอนได้ ห้ามตัดทอนพจน์ที่บวกหรือลบกันอยู่แยกต่างหาก
ข้อจำกัดโดเมน: ค่าที่ทำให้ตัวส่วนเดิมเป็นศูนย์จะต้องถูกแยกออก แม้ว่าจะลดรูปแล้วก็ตาม

กฎทางเลขคณิต

การบวก/การลบ (ตัวส่วนเท่ากัน)

$$\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}$$

การบวก/การลบ (ตัวส่วนไม่เท่ากัน)

$$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad + bc}{bd}$$

การคูณและการหาร

$$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd} \qquad \frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$$

ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง

การตัดทอนพจน์แทนที่จะเป็นตัวประกอบ: คุณไม่สามารถตัด $x$ ใน $\frac{x+2}{x}$ เพื่อให้ได้ 2 เพราะ $x$ ในตัวเศษคือ พจน์ ไม่ใช่ตัวประกอบของตัวเศษทั้งหมด

ลืมข้อจำกัดของโดเมน: เมื่อ $\frac{x^2-1}{x-1}$ ลดรูปเป็น $x+1$ อย่าลืมว่า $x \neq 1$ รูปอย่างง่ายจะได้รับข้อจำกัดโดเมนมาจากต้นฉบับ

ขาดวงเล็บในการป้อนข้อมูล: การเขียน x+1/x-1 จะได้เป็น $x + \frac{1}{x} - 1$ ไม่ใช่ $\frac{x+1}{x-1}$ ควรใช้ (x+1)/(x-1) เสมอ

ข้อผิดพลาดเรื่องเครื่องหมายในการลบ: เมื่อทำการลบ ให้กระจายเครื่องหมายลบไปยังทุกพจน์ในตัวเศษที่สอง: $\frac{a}{c} - \frac{b+d}{c} = \frac{a-b-d}{c}$

การประยุกต์ใช้การคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

แคลคูลัส: การแยกเศษส่วนย่อยสำหรับการอินทิเกรต, ลิมิต และกฎของโลปีตาล
พีชคณิต: การแก้สมการและอสมการตรรกยะ
ฟิสิกส์: สมการเลนส์, ความต้านทานแบบขนาน, กลศาสตร์คลื่น
วิศวกรรมศาสตร์: ฟังก์ชันถ่ายโอนในระบบควบคุม, การประมวลผลสัญญาณ
เคมี: สมการอัตราและนิพจน์สมดุล
เศรษฐศาสตร์: ฟังก์ชันต้นทุน, การวิเคราะห์ส่วนเพิ่ม และการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

คำถามที่พบบ่อย

นิพจน์ตรรกยะคืออะไร?

นิพจน์ตรรกยะคือเศษส่วนที่ทั้งตัวเศษและตัวส่วนเป็นพหุนาม ตัวอย่างเช่น $\frac{x+1}{x-1}$, $\frac{x^2-4}{x^2+3x+2}$ และ $\frac{1}{x}$ เช่นเดียวกับที่จำนวนตรรกยะคืออัตราส่วนของจำนวนเต็ม นิพจน์ตรรกยะก็คืออัตราส่วนของพหุนามนั่นเอง

จะลดรูปนิพจน์ตรรกยะได้อย่างไร?

การลดรูป: 1) แยกตัวประกอบทั้งตัวเศษและตัวส่วนให้สมบูรณ์ 2) ระบุตัวประกอบร่วม 3) ตัดทอนตัวประกอบร่วม ตัวอย่างเช่น $\frac{x^2-1}{x-1}$ แยกได้เป็น $\frac{(x+1)(x-1)}{x-1}$ และหลังจากตัด $(x-1)$ ออกแล้ว รูปอย่างง่ายคือ $x+1$

จะบวกหรือลบนิพจน์ตรรกยะได้อย่างไร?

หา ครน. (ตัวส่วนร่วมที่น้อยที่สุด), เขียนเศษส่วนแต่ละส่วนใหม่ด้วย ครน. นั้น, รวมตัวเศษ และลดรูป ตัวอย่างเช่น: $\frac{1}{x+1} + \frac{1}{x-1} = \frac{(x-1)+(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{2x}{x^2-1}$

การแยกเศษส่วนย่อยคืออะไร?

การแยกเศษส่วนย่อยเป็นการแยกนิพจน์ตรรกยะที่ซับซ้อนให้เป็นผลรวมของเศษส่วนที่ง่ายกว่า ซึ่งมีประโยชน์อย่างยิ่งสำหรับการอินทิเกรตในแคลคูลัส ตัวอย่างเช่น $\frac{2x+3}{x^2-1}$ สามารถแยกออกเป็นเศษส่วนที่ง่ายกว่าที่มีตัวส่วนเป็นเชิงเส้น

ข้อจำกัดของโดเมนคืออะไร?

ข้อจำกัดของโดเมนคือค่าที่ทำให้ตัวส่วนใดๆ เท่ากับศูนย์ เนื่องจากการหารด้วยศูนย์ไม่นิยาม ค่าเหล่านี้จึงต้องถูกแยกออกจากโดเมน ตัวอย่างเช่น ใน $\frac{x+1}{x-2}$ ข้อจำกัดคือ $x \neq 2$

ทำไมถึงตัดทอนพจน์ในนิพจน์ตรรกยะไม่ได้?

คุณสามารถตัดทอนได้เฉพาะ ตัวประกอบ ร่วมเท่านั้น ไม่ใช่พจน์ ตัวประกอบคือสิ่งที่คูณกับนิพจน์ทั้งหมด ในขณะที่พจน์คือสิ่งที่บวกหรือลบอยู่ ใน $\frac{x+2}{x}$ ตัว $x$ ในตัวเศษถูกบวกกับ 2 (เป็นพจน์) ไม่ได้คูณกับส่วนที่เหลือ (เป็นตัวประกอบ) แต่ใน $\frac{x(x+2)}{x(x-1)}$ ตัว $x$ เป็นตัวประกอบร่วมและสามารถตัดทอนได้

จะย่อ (x² - 9)/(x² - 3x) ได้อย่างไร?

แยกตัวประกอบของเศษและส่วน: x² - 9 = (x - 3)(x + 3) และ x² - 3x = x(x - 3) ตัดตัวประกอบร่วมแล้วได้ (x + 3)/x นิพจน์เดิมยังไม่กำหนดเมื่อ x = 0 และ x = 3 เพราะทำให้ส่วนเดิมเป็นศูนย์ แม้ตัวประกอบ x - 3 จะหายไปจากนิพจน์ที่ย่อแล้ว แต่ x = 3 ก็ยังอยู่นอกโดเมนเดิม

จะแบ่งนิพจน์เศษส่วนพีชคณิตหนึ่งด้วยอีกนิพจน์ได้อย่างไร?

คงเศษส่วนแรกไว้ กลับเศษส่วนที่สอง แล้วคูณ จากนั้นแยกตัวประกอบและตัดตัวประกอบร่วม ตัวอย่างเช่น (x/3) หารด้วย (2/x) จะกลายเป็น (x/3) คูณ (x/2) หรือ x²/6 อย่าลืมว่าค่าที่ทำให้ส่วนเดิมของนิพจน์ใดเป็นศูนย์จะใช้ไม่ได้ และตัวหารเองต้องไม่เป็นศูนย์ ข้อจำกัดเหล่านี้มาจากนิพจน์และการดำเนินการเดิม แม้ตัวประกอบจะถูกตัดออกในคำตอบสุดท้ายก็ตาม

ทำไมนิพจน์เศษส่วนพีชคณิตที่ย่อแล้วจึงยังไม่กำหนดค่าบางค่าของ x?

การย่ออาจตัดตัวประกอบออกได้ แต่ไม่ได้ทำให้ค่าที่นิพจน์เดิมไม่กำหนดกลับมาใช้ได้ ตัวอย่างเช่น (x - 2)/(x - 2) ย่อได้เป็น 1 แต่เศษส่วนเดิมไม่กำหนดเมื่อ x = 2 หลังจากย่อแล้ว ให้คงค่าที่ทำให้ส่วนเดิมเป็นศูนย์ไว้เป็นข้อจำกัดด้วย เรื่องนี้สำคัญเมื่อหาค่าของนิพจน์หรือระบุโดเมน เพราะสูตรที่ย่อแล้วเพียงอย่างเดียวอาจซ่อนจุดโหว่ของฟังก์ชันเดิม

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

อ้างอิงเนื้อหา หน้าหรือเครื่องมือนี้ว่า:

"เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ" ที่ https://MiniWebtool.com/th/เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ/ จาก MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

โดยทีมงาน miniwebtool อัปเดตเมื่อ: 13 ก.พ. 2026

เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

เกี่ยวกับ เครื่องคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

นิพจน์ตรรกยะคืออะไร?

การดำเนินการที่รองรับ

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณนี้

คำแนะนำในการป้อนนิพจน์

คุณสมบัติสำคัญของนิพจน์ตรรกยะ

กฎการลดรูป

กฎทางเลขคณิต

ข้อผิดพลาดทั่วไปที่ควรหลีกเลี่ยง

การประยุกต์ใช้การคำนวณนิพจน์ตรรกยะ

คำถามที่พบบ่อย

นิพจน์ตรรกยะคืออะไร?

จะลดรูปนิพจน์ตรรกยะได้อย่างไร?

จะบวกหรือลบนิพจน์ตรรกยะได้อย่างไร?

การแยกเศษส่วนย่อยคืออะไร?

ข้อจำกัดของโดเมนคืออะไร?

ทำไมถึงตัดทอนพจน์ในนิพจน์ตรรกยะไม่ได้?

จะย่อ (x² - 9)/(x² - 3x) ได้อย่างไร?

จะแบ่งนิพจน์เศษส่วนพีชคณิตหนึ่งด้วยอีกนิพจน์ได้อย่างไร?

ทำไมนิพจน์เศษส่วนพีชคณิตที่ย่อแล้วจึงยังไม่กำหนดค่าบางค่าของ x?

แหล่งข้อมูลเพิ่มเติม

เครื่องคำนวณพีชคณิต:

ตัวช่วยแก้โจทย์คณิตศาสตร์

จำนวนและตัวประกอบ

เศษส่วนและการหาร

เลขยกกำลัง ราก และลอการิทึม

พีชคณิตและสมการ

แคลคูลัส

เรขาคณิตและตรีโกณมิติ

เครื่องมือยอดนิยมและอัปเดตล่าสุด:

ดาวน์โหลดทุกไฟล์เป็น ZIP เดียวด้วย Pro