庫侖定律計算機

庫侖定律計算機可以根據公式 \( F = k_e \dfrac{q_{1} q_{2}}{\varepsilon_{r}\, r^{2}} \) 計算兩個點電荷之間的靜電力。選擇未知數 — 力 F、任一電荷或分離距離 r — 並以任何常見單位（庫侖、微庫侖、皮庫侖、基本電荷 e，甚至 CGS 靜電庫侖）輸入其餘三個量。計算機將傳回力的大小、吸引或排斥方向（帶有在即時 SVG 中翻轉的箭頭）、第二個電荷位置處的電場、靜電位能、解釋化學為什麼是電性而非重力性引起的顯著庫侖與重力比率，以及逐步 LaTeX 推導。電介質介質選擇器可處理真空、空氣、水、玻璃、矽以及自由格式的自訂 εᵣ，因此您可以模擬周圍材料如何屏蔽該力。

如何使用此庫侖定律計算機

1. 在求解下拉選單中選擇未知數 — F、q₁、q₂ 或 r。對應的輸入欄位將自動隱藏，其餘三個欄位則變為必填。
2. 輸入兩個電荷及其正負號。正數和負數均可接受，且您可以混用單位（例如：q₁ 以奈庫侖為單位，q₂ 以基本電荷為單位）。
3. 以任何支援的單位輸入分離距離 r，從原子問題的皮米和埃到雷雨雲範例的公里。
4. 選擇周圍介質。真空和空氣幾乎完全相同（εᵣ ≈ 1）；而 εᵣ ≈ 80 的水則將力降低了將近兩個數量級。對於不尋常的電介質，請選擇自訂 εᵣ並輸入數值。
5. 按下計算並讀取結果、吸引或排斥視覺化、靜電力與萬有引力比率、逐步推導以及任何背景附註。

是什麼讓這款計算機與眾不同

一字庫侖定律

在相對介電常數為 εᵣ 的介質中，由 r 分離的兩個點電荷 q₁ 和 q₂ 互相施加的力公式為

\[ F \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

其中庫侖常數 \(k_{e} = 1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 8.9875 \times 10^{9}\) N·m²/C²。如果乘積 \(q_{1}\,q_{2}\) 為正，則力是排斥力（在連接它們的直線上將電荷推開）；如果乘積為負，則力是吸引力。每個電荷上的力大小相同 — 遵循牛頓第三運動定律。

q₁ 在 q₂ 位置處對應的電場為

\[ E \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}}{\varepsilon_{r}\,r^{2}} \]

且配置中儲存的靜電位能為

\[ U \;=\; k_{e}\,\dfrac{q_{1}\,q_{2}}{\varepsilon_{r}\,r} \]

對於同號電荷對，U 為正值（必須提供能量才能將它們帶在一起），而對於異號電荷對，U 為負值（當它們接近時會釋放能量）。

計算範例：氫原子

考慮處於基態的氫原子內部的電子-質子對，由波耳半徑 \(r \approx 5.29 \times 10^{-11}\) m 分離。

• \( F = (8.9875 \times 10^{9})(1.6 \times 10^{-19})(1.6 \times 10^{-19}) / (5.29 \times 10^{-11})^{2} \approx 8.24 \times 10^{-8}\) N — 大約 82 奈牛頓。
• 同一對上的萬有引力：\( F_{g} = G\,m_{e}\,m_{p}/r^{2} \approx 3.6 \times 10^{-47}\) N。
• 比率：\( F/F_{g} \approx 2.3 \times 10^{39} \)。在兩者皆起作用的每個尺度上，電磁力都比萬有引力強約 10³⁹ 倍 — 這就是原子存在而石頭不會飛散的原因。

計算範例：兩個帶電球體

兩個小型導電球體各帶有 +5 µC，在空氣中相距 1 米。

• \( F = k\,q_{1}\,q_{2}/r^{2} = (8.9875 \times 10^{9})(5 \times 10^{-6})^{2} / 1^{2} \approx 0.225\) N — 大約是一個迴紋針的重量。
• 由於兩個電荷皆為正，因此該力是排斥力，球體在連接它們的直線上互相推開。
• 一個球體在另一個球體中心建立的電場為 \( E = kq/r^{2} \approx 44 950\) V/m — 雖然很強，但遠低於乾燥空氣約 3 × 10⁶ V/m 的崩潰電場。

相同電荷，不同介質：水中的離子鍵

一個 Na⁺ 和一個 Cl⁻ 離子處於典型的 NaCl 鍵長 \(r \approx 2.82\) Å。

• 在真空中：\( F \approx 2.9 \times 10^{-9}\) N — 這是強大的原子尺度吸引力，價值數個電子伏特的位能。
• 在水中（εᵣ ≈ 80.4）：相同的幾何形狀給出 \( F \approx 3.6 \times 10^{-11}\) N — 大約弱了 80 倍。介電屏蔽足夠大，以至於熱運動（在 25 °C 時 kT ≈ 25 meV）就能打破該化學鍵，這正是離子鹽極易溶於水的原因。

向心力 vs 離心力 vs 庫侖力

庫侖力是自然界提供的四種真實向內（或向外）力之一。當您將帶電粒子置於圓形軌道上時（粒子加速器、半經典圖像中原子軌道上的電子），庫侖力就會成為使軌道彎曲成圓形的向心力。相比之下，「離心」感覺是一種虛擬的向外推力，僅存在於旋轉參考坐標系中 — 實際的向內拉力仍然是庫侖力。

力的實際來源：物理範例

為什麼不允許 εᵣ < 1

真空具有最小的可能介電常數。材料只能藉由排列其束縛電荷以部分抵消源電場來削弱庫侖力 — 它絕不能在靜態頻率下增強該力。因此，計算機要求 εᵣ ≥ 1；輸入較小的值會引發驗證錯誤。對於可能出現 εᵣ < 1 的高頻或異常色散問題，庫侖定律的這種簡單形式將不再適用。

常見問題

什麼庫侖定律公式？
F = k · q₁ · q₂ / r²，其中 k ≈ 8.9875 × 10⁹ N·m²/C² 為庫侖常數，q₁ 和 q₂ 是以庫侖為單位的電荷，r 是以米為單位的分離距離。在非真空介質中，需除以相對介電常數 εᵣ。

我該如何知道力是吸引力還是排斥力？
將兩個電荷的正負號相乘。同號（同為 + 或同為 −）相斥；異號相吸。計算機會直接透過即時 SVG 中翻轉的箭頭顯示方向。

什麼是庫侖常數？
k = 1 / (4π ε₀) ≈ 8.9875517873681764 × 10⁹ N·m²/C²。ε₀ 是真空介電常數，為 8.8541878128 × 10⁻¹² F/m。

庫侖中的一個基本電荷是多少？
e = 1.602176634 × 10⁻¹⁹ C — 自 2019 年 SI 重新定義以來為精確值。質子帶有 +1 e，電子帶有 −1 e。

電荷之間的介質會改變力嗎？
是的。力會除以介質的相對介電常數 εᵣ。真空的 εᵣ = 1，水具有 εᵣ ≈ 80 — 因此在相同分離距離下，水中的離子力比真空中弱大約 80 倍。

為什麼靜電力比萬有引力強這麼多？
對於質子-電子對，在任何分離距離下，庫侖吸引力都比它們相互之間的萬有引力強大約 2.3 × 10³⁹ 倍 — 因為電磁耦合常數遠大於萬有引力常數。計算機會明確報告此比率。

我可以求解分離距離 r 而不是力嗎？
是的。將求解設定為「分離距離 r」，計算機將公式重組為 r = √( k · q₁ · q₂ / (εᵣ · F) )。隨後 r 輸入框會自動隱藏。

我可以輸入以基本電荷 e 或 CGS 靜電庫侖為單位的電荷嗎？
是的。電荷單位下拉選單包括庫侖、毫至飛庫侖、基本電荷 e 以及靜電庫侖 (esu)。計算機將在內部將所有單位轉換為 SI 單位。