三角恒等式計算機

三角恒等式計算機

歡迎使用 三角恒等式計算機。此工具可以利用基本三角恒等式計算未知的三角函數值。當你已知某一個三角函數的數值（例如 $\sin(x)$ 或 $\cos(x)$），以及角 x 所在的象限時，計算機會求出其餘三角函數並應用多種恒等式進行推導。

本計算機可以做什麼？

在已知一個三角函數與角所在象限的前提下，本計算機可以：

• 計算六個基本三角函數： $\sin(x)$、$\cos(x)$、$\tan(x)$、$\csc(x)$、$\sec(x)$、$\cot(x)$
• 套用二倍角公式： 計算 $\sin(2x)$、$\cos(2x)$ 與 $\tan(2x)$
• 套用半角公式： 計算 $\sin(x/2)$、$\cos(x/2)$ 與 $\tan(x/2)$
• 求出精確角度： 同時以度數與弧度表示
• 驗證恒等式： 檢查畢達哥拉斯恒等式 $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$ 是否成立

重要的三角恒等式

象限與三角函數的正負號

三角函數在不同象限下具有不同的正負號：

• 第一象限 (0°–90°)： 所有三角函數皆為正 (A)
• 第二象限 (90°–180°)： 只有正弦與餘割為正 (S)
• 第三象限 (180°–270°)： 只有正切與餘切為正 (T)
• 第四象限 (270°–360°)： 只有餘弦與正割為正 (C)

英文記憶口訣：「All Students Take Calculus」（A–S–T–C）。

倒數恒等式

• $\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
• $\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
• $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

如何使用本計算機

1. 選擇已知函數： 選擇你已知數值的三角函數（sin、cos、tan、csc、sec 或 cot）。
2. 輸入已知值： 輸入對應的數值。
3. 選擇象限： 指定角 x 所在的象限，以決定其他函數的正負號。
4. 選擇恒等式類型： 選擇要套用的恒等式（畢達哥拉斯、二倍角、半角或全部）。
5. 設定精度： 選擇小數位數（1–100）。
6. 按下「計算」： 查看完整結果與逐步解答。

應用範圍

• 教育： 學習與驗證三角恒等式
• 工程： 訊號處理、波形分析
• 物理： 簡諧運動與振盪問題
• 導航： 角度與距離計算
• 電腦圖學： 旋轉與變換矩陣

更多資源

• 三角函數的同餘式（恒等式）- 維基百科
• Trigonometric Identities - Wolfram MathWorld

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