Co to są tożsamości trygonometryczne?

Tożsamości trygonometryczne to równania zawierające funkcje trygonometryczne, które są prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych. Najbardziej podstawową jest tożsamość pitagorejska: sin2(x) + cos2(x) = 1. Inne ważne tożsamości obejmują wzory na podwójny kąt, wzory na połowę kąta, wzory na sumę i różnicę oraz tożsamości odwrotne.

Jak znaleźć wszystkie wartości trygonometryczne z jednej znanej wartości?

Aby znaleźć wszystkie sześć wartości trygonometrycznych z jednej znanej wartości: 1) Użyj tożsamości pitagorejskiej sin2(x) + cos2(x) = 1, aby znaleźć sin lub cos. 2) Określ poprawny znak na podstawie ćwiartki, korzystając z reguły ASTC. 3) Oblicz tan = sin/cos, csc = 1/sin, sec = 1/cos i cot = 1/tan.

Co to jest reguła ASTC dla ćwiartek?

ASTC to skrót od All-Sin-Tan-Cos, mnemotechnika pozwalająca zapamiętać, które funkcje trygonometryczne są dodatnie w każdej ćwiartce. W I ćwiartce wszystkie funkcje (All) są dodatnie. W II ćwiartce tylko Sinus (i csc) jest dodatni. W III ćwiartce tylko Tangens (i cot) jest dodatni. W IV ćwiartce tylko Kosinus (i sec) jest dodatni.

Co to są wzory na podwójny kąt?

Wzory na podwójny kąt wyrażają funkcje trygonometryczne kąta 2x za pomocą funkcji kąta x. Główne wzory to: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x) oraz tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan2(x)).

Co to są wzory na połowę kąta?

Wzory na połowę kąta wyrażają funkcje trygonometryczne kąta x/2 za pomocą cos(x). Wzory to: sin(x/2) = plus lub minus sqrt((1-cos(x))/2), cos(x/2) = plus lub minus sqrt((1+cos(x))/2) oraz tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x)) = (1-cos(x))/sin(x). Znak zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt x/2.

Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

Oblicz wartości funkcji trygonometrycznych, korzystając z tożsamości pitagorejskich, podwójnego kąta i połowy kąta. Wprowadź znaną wartość i ćwiartkę, aby znaleźć sin, cos, tan, csc, sec, cot krok po kroku.

BezpłatneBez rejestracjiAktualizacja sty 2026

Kalkulator Tożsamości TrygonometrycznychWypróbuj teraz — za darmo ▼

Szybkie przykłady

30° sin=0.5, Q1 45° cos, Q1 60° sin, Q1 225° tan=1, Q3 120° cos, Q2 330° sin, Q4

Znana funkcja

Znana wartość

Ćwiartka

Q2Sin+

Q1Wszystkie+

Q3Tan+

Q4Cos+

Typ tożsamości

Precyzja

Embed Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych Widget

O Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

Witamy w Kalkulatorze Tożsamości Trygonometrycznych, wszechstronnym narzędziu do obliczania wszystkich wartości funkcji trygonometrycznych przy użyciu podstawowych tożsamości. Gdy znasz jedną wartość trygonometryczną (taką jak $\sin(x)$ lub $\cos(x)$) i ćwiartkę, ten kalkulator znajdzie wszystkie inne wartości i zastosuje różne wzory na tożsamości wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

Co robi ten kalkulator

Biorąc pod uwagę znaną wartość funkcji trygonometrycznej i ćwiartkę, w której znajduje się kąt, ten kalkulator:

Oblicza wszystkie sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
Stosuje wzory na podwójny kąt: Znajdź $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ i $\tan(2x)$
Stosuje wzory na połowę kąta: Znajdź $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ i $\tan(x/2)$
Wyznacza dokładny kąt: Zarówno w stopniach, jak i radianach
Weryfikuje tożsamości: Potwierdza tożsamość pitagorejską $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

Kluczowe tożsamości trygonometryczne

Tożsamości pitagorejskie

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
$$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
$$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$

Wzory na podwójny kąt

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

Wzory na połowę kąta

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$

Zrozumienie ćwiartek (reguła ASTC)

Znak każdej funkcji trygonometrycznej zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt. Zapamiętaj mnemotechnikę "ASTC":

Ćwiartka I (0° do 90°): All (Wszystkie) funkcje są dodatnie
Ćwiartka II (90° do 180°): Tylko Sinus (i csc) jest dodatni
Ćwiartka III (180° do 270°): Tylko Tangens (i cot) jest dodatni
Ćwiartka IV (270° do 360°): Tylko Cosinus (i sec) jest dodatni

Tożsamości odwrotne

$\\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
$\\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
$\\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wybierz znaną funkcję: Wybierz, którą wartość funkcji trygonometrycznej znasz (sin, cos, tan, csc, sec lub cot).
Wprowadź znaną wartość: Wprowadź wartość liczbową. Dla sin i cos musi ona mieścić się w zakresie od -1 do 1. Dla csc i sec wartość bezwzględna musi wynosić co najmniej 1.
Wybierz ćwiartkę: Wybierz, w której ćwiartce znajduje się kąt x. Określa to znaki innych funkcji przy użyciu reguły ASTC.
Wybierz typ tożsamości: Wybierz, które tożsamości zastosować (tylko pitagorejskie, podwójnego kąta, połowy kąta lub wszystkie).
Ustaw precyzję: Wybierz, ile miejsc po przecinku chcesz uzyskać (1-100).
Kliknij Oblicz: Zobacz pełne wyniki z rozwiązaniami krok po kroku i wizualną reprezentacją.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-tożsamości-trygonometrycznych/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 13 stycznia 2026 r.

Możesz także wypróbować nasz AI Rozwiązywacz Matematyczny GPT, aby rozwiązywać swoje problemy matematyczne poprzez pytania i odpowiedzi w języku naturalnym.