Co to są tożsamości trygonometryczne?

Tożsamości trygonometryczne to równania zawierające funkcje trygonometryczne, które są prawdziwe dla wszystkich wartości zmiennych. Najbardziej podstawową jest tożsamość pitagorejska: sin2(x) + cos2(x) = 1. Inne ważne tożsamości obejmują wzory na podwójny kąt, wzory na połowę kąta, wzory na sumę i różnicę oraz tożsamości odwrotne.

Jak znaleźć wszystkie wartości trygonometryczne z jednej znanej wartości?

Aby znaleźć wszystkie sześć wartości trygonometrycznych z jednej znanej wartości: 1) Użyj tożsamości pitagorejskiej sin2(x) + cos2(x) = 1, aby znaleźć sin lub cos. 2) Określ poprawny znak na podstawie ćwiartki, korzystając z reguły ASTC. 3) Oblicz tan = sin/cos, csc = 1/sin, sec = 1/cos i cot = 1/tan.

Co to jest reguła ASTC dla ćwiartek?

ASTC to skrót od All-Sin-Tan-Cos, mnemotechnika pozwalająca zapamiętać, które funkcje trygonometryczne są dodatnie w każdej ćwiartce. W I ćwiartce wszystkie funkcje (All) są dodatnie. W II ćwiartce tylko Sinus (i csc) jest dodatni. W III ćwiartce tylko Tangens (i cot) jest dodatni. W IV ćwiartce tylko Kosinus (i sec) jest dodatni.

Co to są wzory na podwójny kąt?

Wzory na podwójny kąt wyrażają funkcje trygonometryczne kąta 2x za pomocą funkcji kąta x. Główne wzory to: sin(2x) = 2sin(x)cos(x), cos(2x) = cos2(x) - sin2(x) = 2cos2(x) - 1 = 1 - 2sin2(x) oraz tan(2x) = 2tan(x)/(1 - tan2(x)).

Co to są wzory na połowę kąta?

Wzory na połowę kąta wyrażają funkcje trygonometryczne kąta x/2 za pomocą cos(x). Wzory to: sin(x/2) = plus lub minus sqrt((1-cos(x))/2), cos(x/2) = plus lub minus sqrt((1+cos(x))/2) oraz tan(x/2) = sin(x)/(1+cos(x)) = (1-cos(x))/sin(x). Znak zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt x/2.

Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

Odtwórz powiązane wartości funkcji trygonometrycznych za pomocą kalkulatora tożsamości trygonometrycznych MiniWebtool. Podaj znaną wartość funkcji, ćwiartkę i rodzaj tożsamości, aby obliczyć pozostałe funkcje z krokami i precyzją do 100 miejsc po przecinku.

Potrzebujesz pomocy z narzędziem? Zapytaj AI

Gemini (kopiuj i otwórz)

W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.

Zobacz pytanie

Chcę zrozumieć, jak korzystać z narzędzia Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych w MiniWebtool: https://miniwebtool.com/pl/kalkulator-to%C5%BCsamo%C5%9Bci-trygonometrycznych/. Do czego służy, jakie dane lub ustawienia są potrzebne oraz jak go używać i interpretować wynik? Pokaż jeden prosty przykład krok po kroku. Oprzyj wyjaśnienie na tej stronie i odpowiedz po polsku.

BezpłatneBez rejestracjiNatychmiastowe wyniki

Kalkulator Tożsamości TrygonometrycznychWypróbuj teraz — za darmo ▼

Jedna znana wartość i ćwiartka dają sześć funkcji trygonometrycznych

Wpisz poniżej znaną wartość funkcji trygonometrycznej i jej ćwiartkę, aby otrzymać sin, cos, tan, csc, sec i cot wraz z krokami.

Szybkie przykłady

30° sin=0.5, Q1 45° cos, Q1 60° sin, Q1 225° tan=1, Q3 120° cos, Q2 330° sin, Q4

Znana funkcja

Znana wartość

Ćwiartka

Q2Sin+

Q1Wszystkie+

Q3Tan+

Q4Cos+

Typ tożsamości

Precyzja

Embed Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych Widget

O Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

Witamy w Kalkulatorze Tożsamości Trygonometrycznych, wszechstronnym narzędziu do obliczania wszystkich wartości funkcji trygonometrycznych przy użyciu podstawowych tożsamości. Gdy znasz jedną wartość trygonometryczną (taką jak $\sin(x)$ lub $\cos(x)$) i ćwiartkę, ten kalkulator znajdzie wszystkie inne wartości i zastosuje różne wzory na tożsamości wraz z pełnymi rozwiązaniami krok po kroku.

W skrócie

Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych wyznacza wszystkie sześć wartości funkcji trygonometrycznych na podstawie jednej znanej wartości i ćwiartki. Stosuje również wzory na funkcje kąta podwojonego i połowy kąta, z krokami i do 100 miejsc po przecinku.

Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych: funkcje w skrócie
Funkcja	Co otrzymujesz	Przydatne dla
Znana wartość	Wybierz sin, cos, tan, csc, sec lub cot i wpisz jej wartość. Dla sin i cos musi mieścić się w przedziale od -1 do 1, a dla csc i sec co najmniej 1 co do wartości bezwzględnej.	Start od stosunku podanego w zadaniu
Znaki w ćwiartkach	Wybór ćwiartki od I do IV, a znaki pozostałych funkcji wynikają z reguły ASTC.	Poprawne określenie znaku pierwiastka dodatniego lub ujemnego
Typ tożsamości	Zastosowanie tylko wzorów Pitagorasa, kąta podwojonego, połowy kąta lub wszystkich. Wyniki obejmują sin, cos i tan dla 2x oraz x/2.	Sprawdzanie zadań z kątem podwojonym i połowy kąta
Wszystkie sześć wartości	Zwraca sin, cos, tan, csc, sec i cot, kąt w stopniach i radianach oraz sprawdzenie, że sin do kwadratu plus cos do kwadratu równa się 1.	Uzyskanie od razu wszystkich powiązanych wartości
Precyzja	Wybór od 1 do 100 miejsc po przecinku.	Wyniki o wysokiej precyzji
Okrąg jednostkowy i kroki	Diagram okręgu jednostkowego pokazuje ćwiartkę, a rozwiązania krok po kroku pokazują użyte wzory.	Śledzenie toku obliczeń

Co robi ten kalkulator

Biorąc pod uwagę znaną wartość funkcji trygonometrycznej i ćwiartkę, w której znajduje się kąt, ten kalkulator:

Oblicza wszystkie sześć podstawowych funkcji trygonometrycznych: $\sin(x)$, $\cos(x)$, $\tan(x)$, $\csc(x)$, $\sec(x)$, $\cot(x)$
Stosuje wzory na podwójny kąt: Znajdź $\sin(2x)$, $\cos(2x)$ i $\tan(2x)$
Stosuje wzory na połowę kąta: Znajdź $\sin(x/2)$, $\cos(x/2)$ i $\tan(x/2)$
Wyznacza dokładny kąt: Zarówno w stopniach, jak i radianach
Weryfikuje tożsamości: Potwierdza tożsamość pitagorejską $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$

Kluczowe tożsamości trygonometryczne

Tożsamości pitagorejskie

$$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
$$1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$$
$$1 + \cot^2(x) = \csc^2(x)$$

Wzory na podwójny kąt

$$\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)$$
$$\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) = 2\cos^2(x) - 1 = 1 - 2\sin^2(x)$$
$$\tan(2x) = \frac{2\tan(x)}{1 - \tan^2(x)}$$

Wzory na połowę kąta

$$\sin\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos(x)}{2}}$$
$$\cos\left(\frac{x}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos(x)}{2}}$$
$$\tan\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{\sin(x)}{1 + \cos(x)} = \frac{1 - \cos(x)}{\sin(x)}$$

Zrozumienie ćwiartek (reguła ASTC)

Znak każdej funkcji trygonometrycznej zależy od tego, w której ćwiartce znajduje się kąt. Zapamiętaj mnemotechnikę "ASTC":

Ćwiartka I (0° do 90°): All (Wszystkie) funkcje są dodatnie
Ćwiartka II (90° do 180°): Tylko Sinus (i csc) jest dodatni
Ćwiartka III (180° do 270°): Tylko Tangens (i cot) jest dodatni
Ćwiartka IV (270° do 360°): Tylko Cosinus (i sec) jest dodatni

Tożsamości odwrotne

$\\csc(x) = \frac{1}{\sin(x)}$
$\\sec(x) = \frac{1}{\cos(x)}$
$\\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)} = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$

Jak korzystać z tego kalkulatora

Wybierz znaną funkcję: Wybierz, którą wartość funkcji trygonometrycznej znasz (sin, cos, tan, csc, sec lub cot).
Wprowadź znaną wartość: Wprowadź wartość liczbową. Dla sin i cos musi ona mieścić się w zakresie od -1 do 1. Dla csc i sec wartość bezwzględna musi wynosić co najmniej 1.
Wybierz ćwiartkę: Wybierz, w której ćwiartce znajduje się kąt x. Określa to znaki innych funkcji przy użyciu reguły ASTC.
Wybierz typ tożsamości: Wybierz, które tożsamości zastosować (tylko pitagorejskie, podwójnego kąta, połowy kąta lub wszystkie).
Ustaw precyzję: Wybierz, ile miejsc po przecinku chcesz uzyskać (1-100).
Kliknij Oblicz: Zobacz pełne wyniki z rozwiązaniami krok po kroku i wizualną reprezentacją.

Cytuj ten materiał, stronę lub narzędzie w następujący sposób:

"Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych" na https://MiniWebtool.com/pl/kalkulator-tożsamości-trygonometrycznych/ z MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

przez zespół miniwebtool. Aktualizacja: 13 stycznia 2026 r.

Porozmawiaj ze swoją ulubioną AI

Gemini (kopiuj i otwórz)

W Gemini wklej skopiowane pytanie do czatu. Możesz je też skopiować poniżej.

Zobacz pytanie

Chcę zrozumieć, jak korzystać z narzędzia Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych w MiniWebtool: https://miniwebtool.com/pl/kalkulator-to%C5%BCsamo%C5%9Bci-trygonometrycznych/. Do czego służy, jakie dane lub ustawienia są potrzebne oraz jak go używać i interpretować wynik? Pokaż jeden prosty przykład krok po kroku. Oprzyj wyjaśnienie na tej stronie i odpowiedz po polsku.

Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

O Kalkulator Tożsamości Trygonometrycznych

W skrócie

Co robi ten kalkulator

Kluczowe tożsamości trygonometryczne

Zrozumienie ćwiartek (reguła ASTC)

Tożsamości odwrotne

Jak korzystać z tego kalkulatora

Porozmawiaj ze swoją ulubioną AI

Kalkulatory trygonometryczne:

Rozwiązywanie matematyki

Liczby i dzielniki

Ułamki i dzielenie

Potęgi, pierwiastki i logarytmy

Algebra i równania

Rachunek różniczkowy i całkowy

Geometria i trygonometria

Popularne i zaktualizowane narzędzia:

Pobierz wszystko jako jeden ZIP z Pro