Kalkulator Radius Konvergensi

Q: Apa itu radius konvergensi?

Radius konvergensi R dari deret pangkat adalah jarak dari pusat deret ke batas wilayah di mana deret tersebut konvergen. Untuk deret pangkat yang berpusat di a, deret tersebut konvergen mutlak ketika |x - a| R. R bisa bernilai 0 (hanya konvergen di pusat), angka positif, atau tak terhingga (konvergen di mana-mana).

Q: Apa perbedaan antara Uji Rasio dan Uji Akar?

Kedua pengujian menentukan radius konvergensi tetapi menggunakan pendekatan yang berbeda. Uji Rasio menghitung limit dari |a_{n+1}/a_n|, sedangkan Uji Akar menghitung limit dari |a_n|^(1/n). Uji Akar terkadang lebih kuat (berhasil kapan pun Uji Rasio berhasil, ditambah beberapa kasus di mana Uji Rasio tidak berhasil), tetapi Uji Rasio seringkali lebih mudah dihitung untuk ekspresi yang melibatkan faktorial.

Q: Apakah radius konvergensi memberitahu kita tentang titik ujung?

Tidak. Radius konvergensi hanya memberi tahu kita tentang konvergensi mutlak di dalam interval dan divergensi di luar. Pada titik ujung x = a - R dan x = a + R, deret tersebut mungkin konvergen atau divergen, dan setiap titik ujung harus diuji secara terpisah menggunakan pengujian lain seperti Uji Deret Berayun, uji deret-p, atau Uji Perbandingan.

Q: Apa saja deret pangkat umum dan radius konvergensinya?

Contoh umum meliputi: e^x memiliki R = tak terhingga; sin(x) dan cos(x) memiliki R = tak terhingga; 1/(1-x) (deret geometri) memiliki R = 1; ln(1+x) memiliki R = 1; deret jumlah x^n/n! memiliki R = tak terhingga; dan jumlah n!*x^n memiliki R = 0.

Tentukan radius dan interval konvergensi untuk deret pangkat menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar, dengan solusi langkah demi langkah, visualisasi konvergensi, dan analisis titik ujung.

Kalkulator Radius Konvergensi

Coba contoh deret:

Deret e^x ln(1+x) n^2/3^n Koefisien

Mode Input

Suku Umum $ a_n $

Ekspresi dalam n (dan opsional x). Contoh: 1/factorial(n), (-1)**n/(n+1), n**2/3**n

Koefisien $ a_0, a_1, a_2, \ldots $

Nilai dipisahkan koma. Minimal diperlukan 3 koefisien. Contoh: 1, -1/2, 1/3, -1/4

Pusat $ c $

Pusat deret pangkat (default: 0)

Uji Konvergensi

Tip: Gunakan Uji Rasio untuk deret dengan faktorial. Gunakan Uji Akar untuk deret dengan pangkat ke-n. Lihat Kalkulator Deret Taylor kami untuk mengekspansi fungsi ke dalam deret pangkat.

Embed Kalkulator Radius Konvergensi Widget

Tentang Kalkulator Radius Konvergensi

Selamat datang di Kalkulator Radius Konvergensi, alat komprehensif untuk menganalisis konvergensi deret pangkat. Baik Anda sedang mempelajari kalkulus, bersiap untuk ujian, atau melakukan penelitian matematika, kalkulator ini menentukan radius dan interval konvergensi menggunakan Uji Rasio atau Uji Akar, memberikan solusi langkah demi langkah yang mendetail dengan notasi matematika.

Apa itu Radius Konvergensi?

Radius konvergensi $ R $ dari deret pangkat $ \sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n $ adalah bilangan real diperluas non-negatif sedemikian sehingga deret tersebut konvergen mutlak untuk $ |x - c| < R $ dan divergen untuk $ |x - c| > R $. Pada batas $ |x - c| = R $, konvergensi harus diperiksa secara terpisah di setiap titik ujung.

Radius konvergensi mendefinisikan interval simetris di sekitar pusat $ c $ di mana deret pangkat mewakili fungsi yang terdefinisi dengan baik. Konsep ini sangat mendasar dalam analisis, persamaan diferensial, dan banyak bidang matematika terapan.

Bentuk Umum Deret Pangkat

Deret Pangkat

$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n (x - c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \cdots$$

Metode untuk Menemukan Radius Konvergensi

Uji Rasio

Metode yang paling umum digunakan. Hitung limitnya:

Formula Uji Rasio

$$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \frac{1}{\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|}$$

Uji Rasio sangat efektif ketika suku umum melibatkan faktorial, eksponensial, atau perkalian. Uji ini secara langsung membandingkan laju pertumbuhan suku-suku yang berurutan.

Uji Akar (Teorema Cauchy-Hadamard)

Alternatif yang terkadang lebih kuat:

Formula Uji Akar

$$\frac{1}{R} = \limsup_{n \to \infty} |a_n|^{1/n}$$

Uji Akar sangat berguna ketika suku umum melibatkan pangkat ke-n seperti $ a_n = r^n $ atau ekspresi di mana rasio suku yang berurutan sulit untuk disederhanakan.

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Pilih mode input: Masukkan suku umum $ a_n $ sebagai ekspresi matematika, atau berikan daftar koefisien.
Tentukan pusat: Masukkan pusat $ c $ dari deret pangkat Anda (default adalah 0 untuk deret Maclaurin).
Pilih pengujian: Pilih antara Uji Rasio atau Uji Akar berdasarkan bentuk deret Anda.
Hitung: Klik tombol untuk melihat radius konvergensi, interval konvergensi, derivasi langkah demi langkah, dan visualisasi konvergensi.

Memahami Hasilnya

Tiga Kemungkinan Hasil

$ R = \infty $: Deret konvergen untuk semua bilangan real $ x $. Contohnya termasuk $ e^x, \sin(x), \cos(x) $.
$ 0 < R < \infty $: Deret konvergen pada interval terbuka $ (c - R, c + R) $ dan divergen di luar itu. Titik ujung memerlukan analisis terpisah.
$ R = 0 $: Deret hanya konvergen di pusat $ x = c $. Contoh: $ \sum n! \cdot x^n $.

Analisis Titik Ujung

Ketika $ 0 < R < \infty $, Uji Rasio dan Uji Akar tidak meyakinkan pada $ x = c \pm R $. Anda memerlukan pengujian tambahan:

Uji Deret Berayun: Untuk deret dengan tanda bergantian di titik ujung
Uji Deret-p: Bandingkan dengan $ \sum 1/n^p $
Uji Perbandingan: Bandingkan dengan deret konvergen atau divergen yang diketahui
Uji Divergensi: Jika suku-sukunya tidak mendekati nol, deret tersebut divergen

Deret Pangkat Umum dan Radiusnya

Fungsi	Deret Pangkat	Radius R	Interval
$ e^x $	$ \sum \frac{x^n}{n!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \sin(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \cos(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} $	$ \infty $	$ (-\infty, \infty) $
$ \frac{1}{1-x} $	$ \sum x^n $	$ 1 $	$ (-1, 1) $
$ \ln(1+x) $	$ \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} $	$ 1 $	$ (-1, 1] $
$ \arctan(x) $	$ \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} $	$ 1 $	$ [-1, 1] $
$ (1+x)^\alpha $	$ \sum \binom{\alpha}{n} x^n $	$ 1 $	Tergantung $ \alpha $

Kapan Menggunakan Masing-masing Uji

Gunakan Uji Rasio Ketika:

Suku umum mengandung faktorial (misal, $ n! $, $ (2n)! $)
Suku tersebut melibatkan hasil kali bilangan bulat berurutan
Anda dapat dengan mudah menyederhanakan rasio $ a_{n+1}/a_n $

Gunakan Uji Akar Ketika:

Suku umum memiliki bentuk $ (f(n))^n $
Suku tersebut melibatkan pangkat ke-n yang menyederhanakan di bawah akar ke-n
Uji Rasio tidak meyakinkan (kedua pengujian setuju jika keduanya berfungsi, tetapi Uji Akar secara ketat lebih kuat)

Panduan Sintaks Input

Pangkat: Gunakan ** atau ^ (misal, n**2 atau n^2)
Faktorial: Gunakan factorial(n) (misal, 1/factorial(n))
Fungsi umum: sin, cos, tan, exp, log, ln, sqrt
Konstanta: pi, e
Variabel: Gunakan n untuk variabel indeks, x untuk variabel deret

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu radius konvergensi?

Radius konvergensi R dari deret pangkat adalah jarak dari pusat deret ke batas wilayah di mana deret tersebut konvergen. Untuk deret pangkat yang berpusat di a, deret tersebut konvergen mutlak ketika |x - a| < R dan divergen ketika |x - a| > R. R bisa bernilai 0 (hanya konvergen di pusat), angka positif, atau tak terhingga (konvergen di mana-mana).

Bagaimana cara mencari radius konvergensi menggunakan Uji Rasio?

Untuk menemukan radius konvergensi menggunakan Uji Rasio: hitung L = lim(n menuju tak hingga) |a_{n+1}/a_n|. Radius konvergensi adalah R = 1/L. Jika L = 0, R = tak terhingga (konvergen di mana-mana). Jika L = tak terhingga, R = 0 (hanya konvergen di pusat). Deret konvergen mutlak ketika |x - a| < R.

Apa perbedaan antara Uji Rasio dan Uji Akar?

Kedua pengujian menentukan radius konvergensi tetapi menggunakan pendekatan yang berbeda. Uji Rasio menghitung limit dari |a_{n+1}/a_n|, sedangkan Uji Akar menghitung limit dari |a_n|^(1/n). Uji Akar terkadang lebih kuat (berhasil kapan pun Uji Rasio berfungsi, ditambah beberapa kasus di mana Uji Rasio tidak berfungsi), tetapi Uji Rasio seringkali lebih mudah dihitung untuk ekspresi yang melibatkan faktorial.

Apakah radius konvergensi memberitahu kita tentang titik ujung?

Tidak. Radius konvergensi hanya memberi tahu kita tentang konvergensi mutlak di dalam interval dan divergensi di luar. Pada titik ujung x = a - R dan x = a + R, deret tersebut mungkin konvergen atau divergen, dan setiap titik ujung harus diuji secara terpisah menggunakan pengujian lain seperti Uji Deret Berayun, uji deret-p, atau Uji Perbandingan.

Apa saja deret pangkat umum dan radius konvergensinya?

Contoh umum meliputi: e^x memiliki R = tak terhingga; sin(x) and cos(x) memiliki R = tak terhingga; 1/(1-x) (deret geometri) memiliki R = 1; ln(1+x) memiliki R = 1; deret jumlah x^n/n! memiliki R = tak terhingga; dan jumlah n!*x^n memiliki R = 0.

Sumber Daya Tambahan

Kutip konten, halaman, atau alat ini sebagai:

"Kalkulator Radius Konvergensi" di https://MiniWebtool.com/id// dari MiniWebtool, https://MiniWebtool.com/

oleh tim miniwebtool. Diperbarui: 18 Feb 2026

Anda juga dapat mencoba Penyelesai Matematika AI GPT kami untuk menyelesaikan masalah matematika Anda melalui pertanyaan dan jawaban dalam bahasa alami.

Fungsi	Deret Pangkat	Radius R	Interval
\( e^x \)	\( \sum \frac{x^n}{n!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \sin(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \cos(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} \)	\( \infty \)	\( (-\infty, \infty) \)
\( \frac{1}{1-x} \)	\( \sum x^n \)	\( 1 \)	\( (-1, 1) \)
\( \ln(1+x) \)	\( \sum \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n} \)	\( 1 \)	\( (-1, 1] \)
\( \arctan(x) \)	\( \sum \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1} \)	\( 1 \)	\( [-1, 1] \)
\( (1+x)^\alpha \)	\( \sum \binom{\alpha}{n} x^n \)	\( 1 \)	Tergantung \( \alpha \)

Kalkulator Radius Konvergensi

Ad blocker Anda mencegah kami menampilkan iklan

Tentang Kalkulator Radius Konvergensi

Apa itu Radius Konvergensi?

Bentuk Umum Deret Pangkat

Metode untuk Menemukan Radius Konvergensi

Uji Rasio

Uji Akar (Teorema Cauchy-Hadamard)

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

Memahami Hasilnya

Tiga Kemungkinan Hasil

Analisis Titik Ujung

Deret Pangkat Umum dan Radiusnya

Kapan Menggunakan Masing-masing Uji

Gunakan Uji Rasio Ketika:

Gunakan Uji Akar Ketika:

Panduan Sintaks Input

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu radius konvergensi?

Bagaimana cara mencari radius konvergensi menggunakan Uji Rasio?

Apa perbedaan antara Uji Rasio dan Uji Akar?

Apakah radius konvergensi memberitahu kita tentang titik ujung?

Apa saja deret pangkat umum dan radius konvergensinya?

Sumber Daya Tambahan

Alat unggulan: