Kalkulator Persamaan Bola

Selamat datang di Kalkulator Persamaan Bola, alat geometri 3D komprehensif yang menemukan persamaan standar dan umum dari sebuah bola. Baik Anda mengetahui koordinat pusat dan jari-jari, atau dua titik ujung diameter, kalkulator ini menyediakan derivasi langkah demi langkah, visualisasi 3D interaktif, dan properti geometris lengkap termasuk luas permukaan dan volume.

Apa itu Persamaan Bola?

Sebuah bola adalah himpunan semua titik dalam ruang tiga dimensi yang berjarak sama dari titik tetap yang disebut pusat. Jarak konstan tersebut adalah jari-jari. Persamaan bola adalah ekstensi 3D dari persamaan lingkaran, dengan menambahkan variabel koordinat ketiga.

Bentuk Standar (Bentuk Pusat-Jari-jari)

Persamaan standar bola dengan pusat \((a, b, c)\) dan jari-jari \(r\) adalah:

Di mana:

• \((a, b, c)\) adalah pusat bola
• \(r\) adalah jari-jari (bilangan real positif)
• \((x, y, z)\) mewakili sembarang titik di permukaan bola

Bentuk Umum (Bentuk Ekspansi)

Memperluas bentuk standar menghasilkan persamaan umum:

Di mana:

• \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\)
• \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\)
• Pusat: \(\left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}, -\frac{F}{2}\right)\)
• Jari-jari: \(r = \sqrt{\frac{D^2}{4} + \frac{E^2}{4} + \frac{F^2}{4} - G}\)

Cara Mencari Persamaan Bola dari Titik Ujung Diameter

Jika Anda mengetahui dua titik ujung \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) dan \(P_2(x_2, y_2, z_2)\) dari sebuah diameter:

1. Temukan pusat (titik tengah diameter): $$C = \left(\frac{x_1 + x_2}{2},\; \frac{y_1 + y_2}{2},\; \frac{z_1 + z_2}{2}\right)$$
2. Temukan jari-jari (setengah dari panjang diameter): $$r = \frac{1}{2}\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$$
3. Tulis persamaannya dengan mensubstitusikan pusat dan jari-jari ke dalam bentuk standar.

Bola vs Lingkaran: Perbedaan Utama

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Pilih mode input: Pilih "Pusat & Jari-jari" jika Anda mengetahui titik pusat dan jari-jari, atau "Dua Titik Ujung Diameter" jika Anda mengetahui dua titik yang berlawanan secara diametral.
2. Masukkan nilai: Isi bidang koordinat. Gunakan tombol contoh cepat untuk melihat cara kerja alat ini.
3. Atur presisi: Pilih jumlah tempat desimal (2-15) untuk hasil Anda.
4. Hitung: Klik "Hitung Persamaan Bola" untuk mendapatkan persamaan standar, persamaan umum, derivasi langkah demi langkah, properti geometris, dan visualisasi 3D interaktif.

Properti Geometris yang Dihitung

• Luas Permukaan: \(A = 4\pi r^2\) — total luas permukaan luar bola
• Volume: \(V = \frac{4}{3}\pi r^3\) — ruang yang dilingkupi oleh bola
• Diameter: \(d = 2r\) — akord terpanjang yang melalui pusat
• Keliling Lingkaran Besar: \(C = 2\pi r\) — keliling dari penampang melintang terbesar

Aplikasi di Dunia Nyata

Fisika dan Teknik

Persamaan bola memodelkan benda langit, gelembung, bejana tekan, dan medan elektromagnetik. Persamaan ini membantu menghitung jarak, perpotongan, dan pemeriksaan penahanan dalam simulasi 3D.

Grafik Komputer dan Pengembangan Game

Persamaan bola digunakan untuk volume pembatas (bounding volumes) dalam deteksi tabrakan, tes perpotongan sinar-bola untuk pelacakan sinar (ray tracing), dan pembuatan medan prosedural.

Geografi dan Navigasi

Bumi didekati sebagai bola untuk banyak perhitungan. Persamaan bola membantu transformasi koordinat GPS dan perhitungan orbit satelit.

Arsitektur dan Desain

Struktur kubah, planetarium, dan desain geodesik mengandalkan geometri bola. Arsitek menggunakan persamaan bola untuk menghitung dimensi struktural dan kebutuhan material.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu persamaan standar sebuah bola?

Persamaan standar bola dengan pusat \((a, b, c)\) dan jari-jari \(r\) adalah \((x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2\). Persamaan ini mewakili semua titik dalam ruang 3D yang berjarak tepat \(r\) dari titik pusat.

Bagaimana cara mencari persamaan bola dari dua titik ujung diameter?

Diberikan dua titik ujung \(P_1(x_1, y_1, z_1)\) dan \(P_2(x_2, y_2, z_2)\): temukan pusat sebagai titik tengah, hitung jari-jari sebagai setengah jarak antara titik-titik tersebut, dan substitusikan ke dalam bentuk standar.

Apa bentuk umum dari persamaan bola?

Bentuk umumnya adalah \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\), di mana \(D = -2a\), \(E = -2b\), \(F = -2c\), dan \(G = a^2 + b^2 + c^2 - r^2\). Pusatnya adalah \((-D/2, -E/2, -F/2)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\).

Apa perbedaan antara persamaan bola dan lingkaran?

Persamaan lingkaran \((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\) berada dalam 2D dengan pusat \((h, k)\). Persamaan bola menambahkan istilah ketiga untuk koordinat z. Bola adalah generalisasi 3D dari lingkaran.

Bagaimana cara mencari pusat dan jari-jari dari persamaan umum?

Dari \(x^2 + y^2 + z^2 + Dx + Ey + Fz + G = 0\), pusatnya adalah \((-D/2, -E/2, -F/2)\) dan jari-jari \(r = \sqrt{D^2/4 + E^2/4 + F^2/4 - G}\). Untuk bola yang valid, ekspresi di bawah akar kuadrat harus bernilai positif.

Sumber Tambahan

• Bola - Wikipedia
• n-bola (Generalisasi Dimensi Tinggi) - Wikipedia