Kalkulator Bilangan Stirling

Selamat datang di Kalkulator Bilangan Stirling, alat kombinatorika komprehensif untuk menghitung bilangan Stirling Jenis Pertama (unsigned — permutasi menjadi siklus) dan Jenis Kedua (partisi himpunan menjadi himpunan bagian tidak kosong). Menampilkan visualisasi segitiga interaktif, derivasi rekurensi langkah demi langkah, distribusi diagram batang, dan interpretasi kombinatorial yang mendalam, kalkulator ini dirancang untuk siswa, pendidik, peneliti, dan pemrogram kompetitif yang membutuhkan hasil cepat dan akurat dengan konteks pendidikan.

Apa Itu Bilangan Stirling?

Bilangan Stirling adalah dua keluarga angka yang muncul secara alami dalam kombinatorika, aljabar, dan analisis. Dinamai menurut matematikawan Skotlandia James Stirling (1692–1770), bilangan ini menjembatani kesenjangan antara faktorial, koefisien binomial, dan identitas polinomial. Meskipun kurang dikenal dibandingkan segitiga Pascal, mereka sama-sama fundamental dan muncul di seluruh matematika diskrit.

Bilangan Stirling Jenis Pertama

Bilangan Stirling Jenis Pertama yang tidak bertanda, dilambangkan \(|s(n,k)|\) atau \(\left[{n \atop k}\right]\), menghitung jumlah permutasi dari \(n\) elemen yang terurai menjadi tepat \(k\) siklus lepas.

Intuisi: Pertimbangkan ke mana elemen \(n\) pergi. Entah ia dimasukkan ke dalam salah satu siklus yang ada (ada \(n-1\) posisi untuk memasukkannya, satu sebelum setiap dari \(n-1\) elemen lainnya) — memberikan kontribusi istilah \((n-1)\cdot|s(n-1,k)|\) — atau ia membentuk siklus-1 baru sendiri, memberikan kontribusi \(|s(n-1,k-1)|\).

Fakta utama:

• \(|s(n,1)| = (n-1)!\) — permutasi siklis (satu siklus besar)
• \(|s(n,n)| = 1\) — permutasi identitas (semua titik tetap)
• \(|s(n,n-1)| = \binom{n}{2}\) — satu transposisi
• \(\sum_{k=0}^{n} |s(n,k)| = n!\) — total jumlah permutasi

Bilangan Stirling Jenis Kedua

Bilangan Stirling Jenis Kedua, dilambangkan \(S(n,k)\) atau \(\left\{{n \atop k}\right\}\), menghitung jumlah cara untuk mempartisi himpunan \(n\) elemen menjadi tepat \(k\) himpunan bagian tidak kosong.

Intuisi: Pertimbangkan ke mana elemen \(n\) pergi. Entah ia bergabung dengan salah satu dari \(k\) himpunan bagian yang ada (\(k\) pilihan) — memberikan kontribusi istilah \(k \cdot S(n-1,k)\) — atau ia membentuk himpunan bagian tunggal baru sendiri, memberikan kontribusi \(S(n-1,k-1)\).

Fakta utama:

• \(S(n,1) = 1\) — hanya satu cara: semua elemen dalam satu himpunan
• \(S(n,n) = 1\) — hanya satu cara: setiap elemen adalah himpunan tunggal
• \(S(n,2) = 2^{n-1} - 1\) — cara membagi menjadi dua himpunan bagian tidak kosong
• \(S(n,n-1) = \binom{n}{2}\) — pilih pasangan mana yang berbagi himpunan bagian
• \(\sum_{k=0}^{n} S(n,k) = B(n)\) — bilangan Bell ke-\(n\)

Rumus Eksplisit (Jenis Kedua)

Cara Menggunakan Kalkulator Ini

1. Masukkan n: Total jumlah elemen (0 hingga 200).
2. Masukkan k: Jumlah siklus (Jenis Pertama) atau himpunan bagian (Jenis Kedua), dengan 0 ≤ k ≤ n.
3. Pilih jenis: Pilih Jenis Pertama, Jenis Kedua, atau keduanya untuk perbandingan berdampingan.
4. Hitung: Klik "Hitung Bilangan Stirling" untuk melihat hasil dengan derivasi langkah demi langkah, visualisasi segitiga, dan grafik distribusi.

Perbandingan: Jenis Pertama vs Jenis Kedua

Aplikasi Bilangan Stirling

Konversi Polinomial

Bilangan Stirling menghubungkan basis polinomial yang berbeda:

• Faktorial naik: \(x^{(n)} = \sum_{k} |s(n,k)|\, x^k\)
• Pangkat biasa: \(x^n = \sum_{k} S(n,k)\, x^{\underline{k}}\) (faktorial jatuh)

Probabilitas dan Statistik

Bilangan Stirling muncul dalam menghitung momen distribusi probabilitas, terutama saat mengonversi antara momen biasa dan faktorial. Mereka penting dalam analisis permutasi acak dan masalah hunian.

Ilmu Komputer

Dalam analisis algoritma, bilangan Stirling muncul dalam menghitung jumlah cara mendistribusikan objek ke dalam wadah, analisis tabel hash, dan studi tentang permutasi acak. Jenis Kedua berhubungan langsung dengan penghitungan fungsi surjektif: jumlah fungsi onto dari himpunan-n ke himpunan-k adalah \(k!\, S(n,k)\).

Teori Bilangan

Bilangan Stirling terhubung dengan bilangan Bernoulli, bilangan harmonik, dan berbagai identitas penjumlahan. Mereka muncul dalam kalkulus beda hingga dan dalam rumus Euler-Maclaurin.

Pertanyaan yang Sering Diajukan

Apa itu bilangan Stirling Jenis Pertama?

Bilangan Stirling Jenis Pertama yang tidak bertanda, dilambangkan |s(n,k)|, menghitung jumlah permutasi dari n elemen yang terurai menjadi tepat k siklus lepas. Mereka memenuhi rekurensi |s(n,k)| = (n−1)·|s(n−1,k)| + |s(n−1,k−1)| dengan |s(0,0)| = 1. Jumlah baris menghasilkan n! karena setiap permutasi memiliki sejumlah siklus tertentu.

Apa itu bilangan Stirling Jenis Kedua?

Bilangan Stirling Jenis Kedua, dilambangkan S(n,k), menghitung jumlah cara untuk mempartisi himpunan n elemen menjadi tepat k himpunan bagian tidak kosong. Mereka memenuhi rekurensi S(n,k) = k·S(n−1,k) + S(n−1,k−1) dengan S(0,0) = 1. Jumlah baris menghasilkan bilangan Bell B(n).

Apa perbedaan antara bilangan Stirling Jenis Pertama dan Jenis Kedua?

Jenis Pertama (unsigned) menghitung permutasi dengan k siklus — urutan di dalam setiap siklus diperhitungkan. Jenis Kedua menghitung partisi himpunan menjadi k himpunan bagian — urutan di dalam himpunan bagian tidak diperhitungkan. Mereka terkait melalui inversi matriks: segitiga bilangan Jenis Pertama bertanda adalah kebalikan dari segitiga Jenis Kedua.

Bagaimana bilangan Stirling digunakan dalam matematika?

Bilangan Stirling muncul dalam konversi polinomial antara faktorial jatuh/naik dan pangkat biasa, dalam menghitung momen distribusi probabilitas, dalam identitas kombinatorial, dan dalam analisis algoritma.

Apa hubungan antara bilangan Stirling dan bilangan Bell?

Bilangan Bell ke-n B(n) sama dengan jumlah semua bilangan Stirling Jenis Kedua di baris n: B(n) = Σ S(n,k) untuk k = 0 hingga n. Bilangan Bell menghitung total jumlah partisi dari sebuah himpunan n elemen ke dalam sejumlah himpunan bagian tidak kosong.

Apakah ada rumus eksplisit untuk bilangan Stirling?

Ya, Jenis Kedua memiliki rumus eksplisit melalui inklusi-eksklusi: S(n,k) = (1/k!) Σ (−1)^(k−j) C(k,j) j^n untuk j = 0 hingga k. Jenis Pertama dapat dihitung melalui rekurensi atau melalui hubungan dengan faktorial naik.

Sumber Tambahan

• Bilangan Stirling Jenis Pertama - Wikipedia
• Bilangan Stirling Jenis Kedua - Wikipedia
• OEIS A008277 - Bilangan Stirling Jenis Kedua
• OEIS A130534 - Bilangan Stirling Jenis Pertama Unsigned