Kalkulator Bilangan Kompleks

Tentang Kalkulator Bilangan Kompleks

Selamat datang di Kalkulator Bilangan Kompleks kami, alat komprehensif yang dirancang untuk melakukan berbagai operasi pada bilangan kompleks dengan solusi langkah-demi-langkah yang terperinci dan visualisasi. Kalkulator ini sempurna untuk pelajar, insinyur, dan siapa saja yang menangani bilangan kompleks dalam bidang matematika atau teknik.

Fitur-fitur Kalkulator Bilangan Kompleks

• Operasi Aritmetika: Penjumlahan, Pengurangan, Perkalian, dan Pembagian bilangan kompleks.
• Konversi: Konversi antara bentuk rectangular dan polar.
• Fungsi Kompleks: Hitung modulus, argument, konjugat, pangkat, dan akar bilangan kompleks.
• Solusi Langkah-demi-Langkah: Pahami setiap langkah yang terlibat dalam perhitungan.
• Visualisasi: Plot bilangan kompleks pada bidang kompleks.

Memahami Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks adalah angka yang dapat diekspresikan dalam bentuk \( a + bi \), di mana \( a \) dan \( b \) adalah angka real, dan \( i \) adalah satuan imajiner yang memenuhi \( i^2 = -1 \).

Bentuk Rectangular

Dalam bentuk rectangular, bilangan kompleks direpresentasikan sebagai \( z = a + bi \).

Bentuk Polar

Dalam bentuk polar, bilangan kompleks direpresentasikan sebagai \( z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \) atau \( z = re^{i\theta} \), di mana:

• \( r = |z| \) adalah modulus dari \( z \)
• \( \theta = \arg(z) \) adalah argumen dari \( z \)

Operasi Dijelaskan

Berikut adalah operasi yang dapat Anda lakukan dengan bilangan kompleks menggunakan kalkulator ini, beserta rumus masing-masing:

Penjumlahan

Untuk menambahkan dua bilangan kompleks dalam bentuk rectangular:

\[ (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

Pengurangan

Untuk mengurangkan satu bilangan kompleks dari bilangan kompleks lain dalam bentuk rectangular:

\[ (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

Perkalian

Untuk mengalikan dua bilangan kompleks dalam bentuk rectangular:

\[ (a + bi) \times (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \]

Sebagai alternatif, dalam bentuk polar:

\[ re^{i\theta} \times se^{i\phi} = (rs)e^{i(\theta + \phi)} \]

Pembagian

Untuk membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lain dalam bentuk rectangular:

\[ \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2} \]

Dalam bentuk polar:

\[ \frac{re^{i\theta}}{se^{i\phi}} = \left(\frac{r}{s}\right)e^{i(\theta - \phi)} \]

Modulus

Modulus dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) dihitung sebagai:

\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

Argument

Argumen dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) adalah sudut \( \theta \) yang dibentuk dengan sumbu real positif, dihitung sebagai:

\[ \arg(z) = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \]

Konjugat

Konjugat dari bilangan kompleks \( z = a + bi \) adalah:

\[ \overline{z} = a - bi \]

Konversi Rectangular ke Polar

Untuk mengkonversi bilangan kompleks dari bentuk rectangular ke bentuk polar:

\[ z = a + bi \Rightarrow r = \sqrt{a^2 + b^2}, \quad \theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \] \[ z = re^{i\theta} \]

Konversi Polar ke Rectangular

Untuk mengkonversi bilangan kompleks dari bentuk polar ke bentuk rectangular:

\[ z = re^{i\theta} \Rightarrow a = r\cos\theta, \quad b = r\sin\theta \] \[ z = a + bi \]

Pangkat

Untuk menaikkan bilangan kompleks \( z \) ke pangkat integer \( n \) dalam bentuk polar:

\[ z^n = \left(re^{i\theta}\right)^n = r^n e^{in\theta} \]

Dalam bentuk rectangular, gunakan ekspansi binomial:

\[ (a + bi)^n \]

Akar

Untuk menemukan akar ke-{n} dari bilangan kompleks \( z = re^{i\theta} \) dalam bentuk polar:

\[ \sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} e^{i\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)}, \quad k = 0, 1, 2, \dots, n-1 \]

Cara Menggunakan Kalkulator Bilangan Kompleks

• Masukkan bilangan kompleks pertama dalam format yang diinginkan (rectangular atau polar).
• Pilih operasi yang ingin Anda lakukan.
• Jika diperlukan, masukkan bilangan kompleks kedua.
• Tentukan bentuk input dan output.
• Untuk operasi seperti Pangkat atau Akar, berikan eksponen yang diperlukan.
• Klik "Hitung" untuk memproses input Anda.
• Lihat hasil beserta solusi langkah-demi-langkah dan grafik.

Aplikasi Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks banyak digunakan di berbagai bidang seperti:

• Teknik Elektro: Menganalisis rangkaian AC.
• Fisika Kuantum: Mendeskripsikan keadaan kuantum.
• Pemrosesan Sinyal: Transformasi Fourier dan filter.
• Sistem Kontrol: Analisis stabilitas.
• Matematika: Menyelesaikan persamaan polinomial.

Sumber Daya Tambahan

Untuk informasi lebih lanjut tentang bilangan kompleks dan aplikasinya, lihat sumber daya berikut:

• Bilangan Kompleks - Wikipedia
• Pengenalan bilangan kompleks - Khan Academy

Alat terkait lainnya:

Operasi matematika tingkat lanjut:

• Kalkulator antilog Unggulan
• Kalkulator fungsi beta
• kalkulator koefisien binomial
• Kalkulator Distribusi Probabilitas Binomial
• kalkulator bitwise Unggulan
• Kalkulator Teorema Limit Tengah
• kalkulator kombinasi
• Kalkulator Fungsi Kesalahan Pelengkap
• Kalkulator Bilangan Kompleks Unggulan
• Kalkulator Entropi Baru
• Kalkulator fungsi kesalahan
• Kalkulator Peluruhan Eksponensial (Presisi Tinggi)
• Kalkulator Pertumbuhan Eksponensial (Presisi Tinggi)
• Kalkulator integral eksponensial
• Kalkulator Eksponen (Presisi Tinggi)
• Kalkulator Faktorial
• kalkulator fungsi gamma Unggulan
• Kalkulator Rasio Emas
• kalkulator setengah hidup
• Kalkulator Pertumbuhan Persentase Unggulan
• Kalkulator Permutasi
• Kalkulator Distribusi Poisson Baru
• Kalkulator Akar Polinomial dengan Langkah-Langkah Terperinci
• Kalkulator Probabilitas
• Kalkulator Distribusi Probabilitas
• Kalkulator Proporsi
• kalkulator rumus kuadrat
• kalkulator notasi ilmiah
• Jumlah Kubus Kalkulator
• jumlah kalkulator angka berurutan
• jumlah kuadrat kalkulator