正切計算機

歡迎使用正切計算機 — 這是一個高精度工具，可計算任何角度的 tan(θ)，精確度可達 1 到 1000 位小數。輸入度數或弧度角度，即可查看逐步 MathJax 渲染的解答、探索互動式單位圓圖表，並在垂直漸近線（90°, 270°, …）處獲得明確警告。

什麼是正切函數？

正切函數 (tan) 是六個基本三角函數之一。它被定義為正弦與餘弦的比值：

在幾何學的單位圓上，tan(θ) 代表角度 θ 的終邊與垂直切線 x = 1 相交處的 y 坐標。它也等於從原點出發、角度為 θ 的半徑線斜率。

正切的核心性質

• 週期： π 弧度 (180°) — tan(θ + 180°) = tan(θ)
• 定義域： 除 θ = 90° + k·180°（此時 cos θ = 0）以外的所有實數
• 值域： 所有實數 (−∞, +∞)
• 奇函數： tan(−θ) = −tan(θ)
• 漸近線： 在 90° 的奇數倍 (π/2 rad) 處具有垂直漸近線

特殊角的正切值

各象限的正切正負號

當正弦和餘弦同號時，正切函數為正；異號時則為負：

口訣：「All Students Take Calculus」 (ASTC) — 第一象限全部皆正；第二象限僅 Sin 為正；第三象限僅 Tan 為正；第四象限僅 Cos 為正。

關鍵正切恆等式

如何使用此計算機

1. 輸入您的角度： 在角度欄位中輸入任何數值。支援國際數字格式（例如 1.234 或 1,234）。
2. 選擇角度單位： 選擇「度」或「弧度」。
3. 設置精確度： 輸入小數點後的位數 (1–1000)。標準為 10 位；科學運算可能需要 50–100 位以上。
4. 點擊計算： 查看正切值、互動式單位圓圖表、逐步解題過程以及完整的三角函數值。

為什麼需要高精度正切？

• 任意精度： 遠超標準計算機典型的 15–16 位限制，最高可達 1000 位小數。
• 研究級準確度： 由 mpmath 提供支援，實現可靠的任意精度運算。
• 漸近線偵測： 自動偵測 90° + k·180° (π/2 + k·π) 的未定義點並發出明確警告。
• 教育化輸出： 提供 MathJax 渲染的公式、單位圓視覺化以及特殊角偵測。

常見問題解答

什麼是三角函數中的正切？

正切函數 (tan) 定義為正弦與餘弦的比值：tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)。它代表從原點出發、角度為 θ 的直線斜率。在幾何上，它是該直線與單位圓上垂直切線 x = 1 相交處的 y 值。

正切函數在何處沒有定義？

正切在 90° 的奇數倍（或 π/2 弧度）處沒有定義：例如 90°、270°、−90° 等。在這些角度下，cos(θ) = 0，使得 sin(θ)/cos(θ) 比值無意義。正切圖形在這些點具有垂直漸近線。

特殊角的正切值是多少？

特殊角的精確正切值為：tan(0°) = 0, tan(30°) = √3/3 ≈ 0.577, tan(45°) = 1, tan(60°) = √3 ≈ 1.732, tan(90°) 為未定義, tan(120°) = −√3, tan(135°) = −1, tan(150°) = −√3/3, 以及 tan(180°) = 0。

為什麼 tan(45°) 等於 1？

在 45° 時，正弦和餘弦的值相同（皆為 √2/2）。由於 tan(θ) = sin(θ)/cos(θ)，我們得到 tan(45°) = (√2/2)/(√2/2) = 1。從幾何上看，45° 的半徑線斜率恰好為 1。

正切函數的週期是多少？

正切函數的週期為 π 弧度 (180°)，即 tan(θ + 180°) = tan(θ)。這比正弦和餘弦（週期為 2π/360°）更短，因為 sin 和 cos 在 180° 後皆會改變正負號，而它們的比值保持不變。

正切在哪些象限是正值或負值？

正切在第一象限 (0°–90°) 和第三象限 (180°–270°) 為正，此時正弦和餘弦同號。正切在第二象限 (90°–180°) 和第四象限 (270°–360°) 為負，此時正弦和餘弦異號。

其他資源

• 正切 – 維基百科
• 三角函數圖形 – 可汗學院
• 正切 – Wolfram MathWorld